tag:blogger.com,1999:blog-515784638127878832024-03-12T23:39:45.852-03:00"Pensamentos Matemáticos"Unknownnoreply@blogger.comBlogger11125tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-13607870758963504282016-02-12T02:02:00.000-02:002016-02-12T02:11:45.382-02:00Resumos de alguns livros não-acadêmicos de matemáticaAlgumas pessoas se motivam para estudar matemática com pouca coisa, às vezes o que ela aprendeu no colégio e o que aprendeu na faculdade é o suficiente para fazer ela apreciar a matemática e continuar estudando. Já outras pessoas precisam de algo mais. Esse <i>algo mais </i>pode ser a aplicação do que se está aprendendo, pode ser a história por trás daquilo, pode ser apenas um conjuntos de fatos curiosos e intrigantes, entre outros.<br />
Muitas vezes esse algo mais é preenchido com livros de divulgação. O principal papel dos livros de divulgação é fazer o público leigo se interessar por matemática, ao mostrar um lado mais acessível e interessante da matemática. Porém, muito matemático não-leigo pode ver coisas num livro de divulgação que nunca viu em salas de aula. Nesse sentido, livros de divulgação também servem como um <i>motor</i> que mantém o estudante continuamente fascinado pela matemática.<br />
Meu primeiro contato com um livro de divulgação ocorreu no meu primeiro semestre de matemática na UERJ. A minha professora de Cálculo I recomendou alguns livros como leitura extra, alegando que eram interessantes e que nos dariam uma visão melhor de como é o mundo da matemática. Um dos livros recomendados por ela foi <i>O Último Teorema de Fermat. </i>Esse livro me fisgou de vez para o mundo dos livros de divulgação matemática! Desde então, tenho lido livros extras sem parar.<br />
Recomendo muito o hábito de ler livros de divulgação, eles te ensinam como é a matemática por trás dos bastidores, além de te mostrar coisas interessantíssimas de matemática que você talvez nunca vá ver em uma sala de aula ou em um livro acadêmico.<br />
Nesse post, farei um pequeno resumo de alguns livros que eu já li (não há nada de especial na ordem em que eu os listei). Espero que este resumo te incentive a ler alguns livros, fora os livros acadêmicos de sempre.<br />
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<b>1) O Homem que Calculava </b><br />
<b>Autor: Malba Tahan</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitAg6CIyGq0cwqBiPuXsGFHzP4NrfObVE5-nBN6GGvyGIcUq80mQGoUBWV388WAQfyzerYPy0m4oQjPMkaRC2u7uc5vZYZOBEc_2uM9E8B4mjMciz5WdyKO_5zLgTd7eX_T0SLAbFjQA/s1600/Baixar-Livro-O-Homem-Que-Calculava-Malba-Tahan-em-PDF-ePub-e-Mobi.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitAg6CIyGq0cwqBiPuXsGFHzP4NrfObVE5-nBN6GGvyGIcUq80mQGoUBWV388WAQfyzerYPy0m4oQjPMkaRC2u7uc5vZYZOBEc_2uM9E8B4mjMciz5WdyKO_5zLgTd7eX_T0SLAbFjQA/s320/Baixar-Livro-O-Homem-Que-Calculava-Malba-Tahan-em-PDF-ePub-e-Mobi.jpg" width="204" /></a></b><br />
Este é um clássico, leitura praticamente obrigatória pra qualquer brasileiro que goste de matemática pra valer. Estou especificando os brasileiros pois o autor do livro é brasileiro. Inclusive, este livro é tão clássico na história da matemática brasileira que o dia nacional da matemática, 6 de maio, é justamente o dia de nascimento do autor do livro. O livro conta as aventuras de Beremiz Samir, um matemático persa do século XIII que é incrivelmente bom em cálculos mentais. Estas aventuras sempre envolvem engimas muito interessantes e nada fáceis de se resolver. A cada enigma, o leitor pode parar a leitura tentar resolver ou continuar a leitura e ver como Beremiz resolve.<br />
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<b>2) A Magia dos Números</b><br />
<b>Autor: Paul Karlson</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaNgWmJrcXGCTsQrkODrlfsR0lEcCbO20WFAuh8GztjF10i7wBNYHjmTPIzehlnxJjFrXQ5EEBQmiWDbZ2wuFB6i8gIAmzLuSPHoI6MOIMZDAYaGl71nBpgsnITPB-4MsTVP2dGj4WpQ/s1600/a+magia+dos+numeros+.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaNgWmJrcXGCTsQrkODrlfsR0lEcCbO20WFAuh8GztjF10i7wBNYHjmTPIzehlnxJjFrXQ5EEBQmiWDbZ2wuFB6i8gIAmzLuSPHoI6MOIMZDAYaGl71nBpgsnITPB-4MsTVP2dGj4WpQ/s320/a+magia+dos+numeros+.jpg" width="230" /></a></b><br />
Logo depois de ter acabado de ter lido<i> O Último Teorema de Fermat</i>, eu precisava ler outro livro do tipo. Vasculhando na biblioteca da UERJ, encontrei este livro. Foi paixão à primeira vista. <i>A Magia dos Números</i> virou o meu livro oficial de passatempo. Sempre que eu queria uma leitura leve que falasse de matemática e da história da matemática, este era o livro certo. O livro fala de detalhes que não são muito falados por aí, como a evolução da escrita dos números, o surgimento de logaritmos, como funcionava a matemática grega, como era usado o teorema de Pitágoras na prática antigamente, etc.<br />
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<b>3) História da Matemática </b><br />
<b>Autor: Carl B. Boyer</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAzjJ0u46UrvXeYSo3t5LQPVxDlL8F7vMInWj3wtvEwvRmdFwk0R0_4wS8a_xNDmdCucdAekZNr-AXD3GFP9Vkd20aT-4Y5ppHwP5oTIBgRXIz1BEMV8FW5YmSSNGRa363PBBy8DJN9Q/s1600/hist_da_matemat_boyer.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAzjJ0u46UrvXeYSo3t5LQPVxDlL8F7vMInWj3wtvEwvRmdFwk0R0_4wS8a_xNDmdCucdAekZNr-AXD3GFP9Vkd20aT-4Y5ppHwP5oTIBgRXIz1BEMV8FW5YmSSNGRa363PBBy8DJN9Q/s320/hist_da_matemat_boyer.jpg" width="227" /></a></b><br />
Encontrei este livro na biblioteca um pouco depois de ter encontrado <i>A Magia dos Números</i>. Como o próprio título diz, ele fala da história da matemática. Conforme a pessoa vai estudando matemática, ela esbarra com alguns famosos nomes: Pitágoras, Tales, Euclides, Fibonacci, Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Galois, Cauchy, Riemann, Cantor, Poincaré, Hilbert, etc, só para citar alguns. Pois bem, estes matemáticos tiveram suas vidas, suas histórias! Algumas delas realmente não foram tão interessantes, mas outras foram muito interessantes, e é mais interessante ainda ler sobre como os matemáticos se comunicavam, sobre as intrigas que ocorreram e como a matemática evoluiu a partir disso. Não é apenas a questão da história das pessoas envolvidas na matemática, mas a história da matemática em si. A Geometria é a grande idosa da matemática, mas que está até hoje evoluindo. O Cálculo também é antigo e foi um longo caminho até ele <i>nascer </i>com Newton e Leibniz. Outros ramos como a Topologia ainda são crianças, mas estão evoluindo incrivelmente rápido. É interessante ter essa visão geral da matemática, saber como as coisas eram e compará-las com como as coisas são atualmente.<br />
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<b>4) Introdução à História da Matemática</b><br />
<b>Autor: Howard Eves</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8ARd9dy7PjpE-JiPjl2LbKzRnIpv6gY0ehCrDZEbI4aIBFcbGbQB3o2Z5_XRns6-aTX26Qc2GSfoDnXJ3GmqXQ44VeI4ALTcblc3ANHZSv5hWM0lmTDJA9hhNNXv4-HnJhCuVMyMOQw/s1600/introducao-a-historia-da-matematica-howard-eves-8526806572_300x300-PU6e6da9d1_1.jpg" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8ARd9dy7PjpE-JiPjl2LbKzRnIpv6gY0ehCrDZEbI4aIBFcbGbQB3o2Z5_XRns6-aTX26Qc2GSfoDnXJ3GmqXQ44VeI4ALTcblc3ANHZSv5hWM0lmTDJA9hhNNXv4-HnJhCuVMyMOQw/s400/introducao-a-historia-da-matematica-howard-eves-8526806572_300x300-PU6e6da9d1_1.jpg" /></a></b><br />
Primeiramente, eu li o livro do Carl B. Boyer, mas acabei comprando este para a minha coleção. Não que o livro do Boyer não tenha me agradado, pelo contrário, eu o adorei. Acontece que esse livro me cativou mais ainda e pareceu cobrir quase tudo que o do Boyer cobre, com o diferencial de que este livro é mais atual, então ele fala de temas mais recentes.<br />
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<b>5) Uma História Concisa da Matemática no Brasil</b><br />
<b>Autor: Ubiratan D'Ambrosio</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgka9B4TfV69a-ar1W1CJnAFNNk4QjjM2mui0M-3l4CquMEIu7_vLITThfb3xX7VuR10830y_L9o0zalnZxSqdNcSit1ff8XrdWZRyae11qjdMRFyLIdJ3wPryffw0hiuqkkPGO3cg0YQ/s1600/jpg.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgka9B4TfV69a-ar1W1CJnAFNNk4QjjM2mui0M-3l4CquMEIu7_vLITThfb3xX7VuR10830y_L9o0zalnZxSqdNcSit1ff8XrdWZRyae11qjdMRFyLIdJ3wPryffw0hiuqkkPGO3cg0YQ/s320/jpg.jpg" width="320" /></a></b><br />
Para quem tem interesse pela história da matemática aqui no Brasil, este livro é recomendadíssimo. Ele fala sobre a história desde o século XVIII e vai até a história do CNPq, IMPA, etc. O livro também aborda um pouco da história internacional, como o início da IMU (International Mathematical Union), ICM (International Congress of Mathematicians), etc.<br />
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<b>6) O Último Teorema de Fermat</b><br />
<b>Autor: Simon Singh</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjbE4wls9alJD2qebYjrOPi0RUwLSut8bEnDQfVfL4Kmemud4qO1oE1agjP3O6_2Q3ra_B_LBkqbDnw3GwihfuBhmKGPm4WVE6N-uGZXtWOLtr784K2-sKgRoWVIzqM0H0NiWne-di2g/s1600/fermat.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjbE4wls9alJD2qebYjrOPi0RUwLSut8bEnDQfVfL4Kmemud4qO1oE1agjP3O6_2Q3ra_B_LBkqbDnw3GwihfuBhmKGPm4WVE6N-uGZXtWOLtr784K2-sKgRoWVIzqM0H0NiWne-di2g/s320/fermat.jpg" width="214" /></a></b><br />
Para quem não sabe, o <i>Último Teorema de Fermat</i> era na verdade uma conjectura feita por Fermat em 1637. Este problema ficou mais de trezentos anos em aberto e foi alvo de muitas tentativas frustradas. Não apenas tentativas frustradas, mas há várias histórias interessantes envolvendo o Último Teorema de Fermat. Culminando na última história, que é a história da pessoa que finalmente finalizou esta saga em 1994: Andrew Wiles. O interessante deste teorema é que ele é muito fácil de ser enunciado (pode ser entendido por um estudante do ensino médio sem dificuldades), porém a prova de que o teorema é verdadeiro requer uma matemática muitíssimo avançada. A leitura do livro vale a pena, não apenas porque muita coisa interessante aconteceu em volta deste teorema, mas também porque o livro te mostra um pouco sobre como é o mundo dos matemáticos. É uma verdadeira aventura!<br />
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<b>7) A Música dos Números Primos</b><br />
<b>Autor: Marcus du Sautoy</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6-Symzu3DPhyphenhyphenpGRHzJtokNKFLBIgZ9uNMkqyCHneGStYd9-8DcnuPaY28To9_a4aL-w-3VYTDgAtW_tLf-H6i053TKuVqvDE4m9yf5UCVfm6hV4oP0lqg3AkYlW4PCxmNoTE4ZoupVw/s1600/6565976g1.jpg" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6-Symzu3DPhyphenhyphenpGRHzJtokNKFLBIgZ9uNMkqyCHneGStYd9-8DcnuPaY28To9_a4aL-w-3VYTDgAtW_tLf-H6i053TKuVqvDE4m9yf5UCVfm6hV4oP0lqg3AkYlW4PCxmNoTE4ZoupVw/s400/6565976g1.jpg" /></a></b><br />
Assim como <i>O Último Teorema de Fermat</i>, este livro gira em torno da história de um outro grande problema em matemática, com a diferença que este problema ainda não foi resolvido. Apesar do título, o principal tema do livro não é números primos, mas sim um grande problema em aberto, chamado de <i>A Hipótese de Riemann. </i>É uma conjectura feito por Bernhard Riemann em 1859, ou seja, também está aí há um bom tempo desafiando as melhores mentes. É um problema muito importante em matemática, e ele é tão relevante que é um dos famosos <i>Problemas do Milênio</i> (uma pequena lista de problemas em matemática valendo 1 milhão de dólares cada). A importância deste problema reside na relação que ele tem com os números primos (daí o título). O livro fala da história do problema, fala de números primos, fala das pessoas que tentaram resolvê-lo e como tentaram resolvê-lo. Este problema tem conexões inesperadas com física entre outras áreas, isto faz com que este livro aborde diversos temas diferentes, e isto mostra uma coisa já conhecida na matemática: o poder que ela tem de conectar áreas aparentemente desconexas.<br />
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<b>8) Almanaque das Curiosidades Matemáticas</b><br />
<b>Autor: Ian Stewart</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilJCJN7tdibmDl3TtT_Qivk7Lmvb_vf5-nyFmblJx5b0yc6vjOAgC4aZeFeT14j7t9-zvcvRk3OgWz0i5Lhn2viToQHLzQ_2oD70bxUClT9m1_0pZDZldcpOVmVy7mjxJk38y14m8Jug/s1600/alm.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilJCJN7tdibmDl3TtT_Qivk7Lmvb_vf5-nyFmblJx5b0yc6vjOAgC4aZeFeT14j7t9-zvcvRk3OgWz0i5Lhn2viToQHLzQ_2oD70bxUClT9m1_0pZDZldcpOVmVy7mjxJk38y14m8Jug/s320/alm.jpg" width="213" /></a></b><br />
Para quem gosta de uma leitura descontraída e divertida, este é o livro. Diferentemente dos outros livros, este não narra uma história, ele simplesmente é um grande arsenal de joguinhos matemáticos, curiosidades, piadas, paradoxos e fatos interessantes. Você pode colocar em qualquer página e ler a partir dali mesmo. Veja este livro como um grande passatempo com teor matemático. Além da diversão garantida, você vai encontrar coisas neste livro que dificilmente encontraria por aí. Por exemplo, você sabia que existe um tipo de número chamado de <i>número plástico</i> ? Eu não sabia, só fui descobrir que isso existia quando li este livro, e se não fosse por este livro, provavelmente nunca iria saber.<br />
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<b>8) Incríveis Passatempos Matemáticos</b><br />
<b>Autor: Ian Stewart</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-j1-PwxFFHtXY-GlED7SFFuu0Xx0RnYxqFlu7giE8DM3TT9r0btjV-uW26HuabXHL5of1YwjKROcTDVODe6oq4adt8kB0mbwy0ZblxuZwm6kMYmN9nh3rX5vOnXb5khdwFNT2ZdJScQ/s1600/13379867.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-j1-PwxFFHtXY-GlED7SFFuu0Xx0RnYxqFlu7giE8DM3TT9r0btjV-uW26HuabXHL5of1YwjKROcTDVODe6oq4adt8kB0mbwy0ZblxuZwm6kMYmN9nh3rX5vOnXb5khdwFNT2ZdJScQ/s320/13379867.jpg" width="212" /></a></b><br />
Este livro é do mesmo autor do <i>Almanaque de Curiosidades Matemáticas</i>, e pode ser considerado como uma continuação deste. Se você gostou do outro, pode comprar este sem dúvida! Não pense que o primeiro esgotou as possibilidades, matemática é um mundo enorme e potencialmente infinito. Ainda há muito espaço para diversos outros livros do tipo, e este é ótimo.<br />
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<b>9) Em Busca do Infinito</b><br />
<b>Autor: Ian Stewart</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_6MZs7dsauUUOplgIxW_re7ijJYqW-Xl2-rGpsb4qo493RfVHCK5pme_1TRIDW5UQ06Hu_5AV2LRsJstuiB3SgIk9vKmg5umLg-PToEk2jO_K0Z3bORv1bKAvfjMNLDGlOsDZoa6_uA/s1600/EmBuscaDoInfinito.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_6MZs7dsauUUOplgIxW_re7ijJYqW-Xl2-rGpsb4qo493RfVHCK5pme_1TRIDW5UQ06Hu_5AV2LRsJstuiB3SgIk9vKmg5umLg-PToEk2jO_K0Z3bORv1bKAvfjMNLDGlOsDZoa6_uA/s320/EmBuscaDoInfinito.jpg" width="222" /></a></b><br />
Geralmente livros de história são muito sérios e muito grandes. Se você quer ler sobre história da matemática de uma maneira mais tranquila e não quer um livro com quase mil páginas, então este livro é pra você. Para ser sincero, este livro não me agradou tanto assim. Além de eu gostar de livros mais sérios de história, há alguns de erros de tradução que me incomodaram bastante. Parece que em vez de pegarem alguém que sabe matemática e inglês para fazer a tradução, pegaram alguém que sabe só inglês. Algumas vezes a tradução é feito ao pé da letra, e é incorreta. Apesar destes pequenos incômodos, a leitura ainda vale a pena.<br />
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<b>10) Alex no País dos Números</b><br />
<b>Autor: Alex Bellos</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhfVUl1v6Bg-Ba0GI_M41mwnP_PL-s2fegNtYjU7WNL_JMvS-zNpgpKBbRmDQ5hpJVzYphFj67GzM2tw_XSAdR0zGeeIpEz-jkH0T8ih89lpBEmun7gw2CtQXhuNrvQnlTEhQwIMApQw/s1600/12579_gg.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhfVUl1v6Bg-Ba0GI_M41mwnP_PL-s2fegNtYjU7WNL_JMvS-zNpgpKBbRmDQ5hpJVzYphFj67GzM2tw_XSAdR0zGeeIpEz-jkH0T8ih89lpBEmun7gw2CtQXhuNrvQnlTEhQwIMApQw/s320/12579_gg.jpg" width="222" /></a></b><br />
Assim como existe a <i>Alice no País das Maravilhas,</i> temos que o <i>Alex no país dos Números </i>narra a jornada de Alex através do mundo da matemática<i>. </i>A cada capítulo ele está em um lugar diferente, conhece pessoas diferentes e conhece novos aspectos da matemática. A narrativa é extremamente agradável e o livro mostra diversas coisas diferentes da matemática, de uma maneira cativante, através de coisas conhecidas. É quase como se ele te levasse pela mão através das maravilhas da matemática, de tal modo que é difícil não entender e não ficar interessado pelo que está lendo. Assim como os livros do Ian Stewart, este livro é cheio de figuras e cheio de fatos curiosos. Recomendadíssimo!<br />
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<b>11) <i>e</i>: A História de um Número</b><br />
<b>Autor: Eli Maor </b><br />
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<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg9Ip4bbTj986vv452Rh90HcGKAo37_vbf31Amg_9gfMxFLDkiTRQHmfQe5wZp6SMgsxUwDHEL_jkjFh-kbW5C2z3wgdI9HxLWEXOUhCzSymnl7cECvOXoUglyfgW_X7MQZKX_wwlQcg/s1600/imgGD_8501058475.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg9Ip4bbTj986vv452Rh90HcGKAo37_vbf31Amg_9gfMxFLDkiTRQHmfQe5wZp6SMgsxUwDHEL_jkjFh-kbW5C2z3wgdI9HxLWEXOUhCzSymnl7cECvOXoUglyfgW_X7MQZKX_wwlQcg/s320/imgGD_8501058475.jpg" width="216" /></a></b><br />
O título é auto-explicativo, é um livro sobre o famoso número <i>e</i>. O livro é muito bem escrito e mostra alguns aspectos deste número que você nem sonharia que existem. Se você tem interesse em saber sobre o assunto, este é o livro certo. Gostaria apenas de ressaltar que este livro tem um lado técnico mais puxado, é bom já ter feito um curso de Cálculo antes de ler.<br />
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<b>12) As Grandes Equações</b><br />
<b>Autor: Robert P. Crease</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw99Aze_6ttdgWnnWoLIX5SICf3c2A9Syc8E7B2rPZ7sAoZJP7lYKM79ZKxYjqmaOXAwxAA_BYzyIUdpuo5h2YuydJEkE-6HUJG4lIVpZjc9yx8tsjUUyRPPY-SPh5rKvgFbuiVSXDWg/s1600/AsGrandesEquacoes.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw99Aze_6ttdgWnnWoLIX5SICf3c2A9Syc8E7B2rPZ7sAoZJP7lYKM79ZKxYjqmaOXAwxAA_BYzyIUdpuo5h2YuydJEkE-6HUJG4lIVpZjc9yx8tsjUUyRPPY-SPh5rKvgFbuiVSXDWg/s320/AsGrandesEquacoes.jpg" width="222" /></a></b><br />
Eu ganhei este livro de aniversário e, apesar de não gostar muito desse negócio de fazer top 10 de equações, até que o livro é bem legal. Não que eu concorde com a lista de equações dele (a maioria é de física, como já era de se esperar), mas a cada "grande" equação, vem uma boa dose da história por trás dela e uma tentativa amigável de explicar a tal equação. O livro não mostra muitas equações (apesar do titulo) mas te dá uma boa cultura científica.<br />
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<b>13) O Gene da Matemática</b><br />
<b>Autor: Keith Devlin</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLp_khdsyhBmtNileZk7_Alv8DodbXao5q7bKC6PfRvQtt3y8tzFxrWAZK2cgOdXyyb8FvuWIPpHeg7Hxglrvs0P993dun80PqgcOvqKT9w03Lrb4438Ei45sNr4prU8QxY8wK7Ocbmw/s1600/5017545.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLp_khdsyhBmtNileZk7_Alv8DodbXao5q7bKC6PfRvQtt3y8tzFxrWAZK2cgOdXyyb8FvuWIPpHeg7Hxglrvs0P993dun80PqgcOvqKT9w03Lrb4438Ei45sNr4prU8QxY8wK7Ocbmw/s320/5017545.jpg" width="219" /></a></b><br />
Posso dizer com segurança que este foi um dos livros que eu mais fiquei envolvido. O autor fala sobre a evolução do cérebro e a capacidade de lidar com matemática. Apesar do título, o autor defende a ideia de que não existe o gene da matemática, mas sim que a essa capacidade é inata a todos os seres humanos. O que faz alguém conseguir aprender matemática é o interesse dela, muito mais que as habilidades inatas dela. É um longo caminho que o livro faz, passando sobre assuntos como: a capacidade de contagem por outros animais, o que é matemática, a evolução da capacidade de se comunicar verbalmente, a estrutura da linguagem humana, como os matemáticos enxergam a matemática, entre outros. É um livro intelectualmente estimulante e que te dá uma nova visão sobre tudo.<br />
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<b>14) A Prova de Gödel</b><br />
<b>Autores: Ernest Nagel, James R. Newman</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4fPoI0Bdsp5wneq0sZoe2b7HEHoUHmRo-maDjcCsNcSucXnRnaFx2lmGGYme63ABf06ocbZGI87V7cNCNi-KKL0EKhGYMsePuIohOuOtuu3XHsrvegrSJM1bEcQM5Pdj6fFwLaITCEw/s1600/db483999-a6a7-4495-9ff0-5e94f20c69d7.jpg" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4fPoI0Bdsp5wneq0sZoe2b7HEHoUHmRo-maDjcCsNcSucXnRnaFx2lmGGYme63ABf06ocbZGI87V7cNCNi-KKL0EKhGYMsePuIohOuOtuu3XHsrvegrSJM1bEcQM5Pdj6fFwLaITCEw/s400/db483999-a6a7-4495-9ff0-5e94f20c69d7.jpg" /></a></b><br />
Recomendo ter uma certa maturidade matemática antes de ler este livro. De preferência, já ter feito um curso de Cálculo Proposicional e saber o que é uma <i>prova </i>em matemática. Feito isso, garanto que a leitura será muito interessante. O livro trata dos famosos teoremas da <i>incompletude</i> de Gödel, onde ele prova que a matemática não é tão verdade absoluta e perfeita como algumas pessoas pensam. Se o pouco que eu disse te despertou o interesse, dá uma olhada na wikipedia sobre estes teoremas de Gödel, faz o curso e depois vá ler o livro!<br />
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<b>15) Logicomix</b><br />
<b>Autores: Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou</b><br />
<b><br /></b>
<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8mbqxnwTu_MhVlkbYrXpDEpK0vHbSMm7EG30b3pGT7PPfNUwHqwqAmZGdIhLlsY-Pf4nkQ851LisDafMAywwtFqZEwiWstnaXwo53OMBseu-koPMJFZg3Ykfk5wX8kLF9Lz7Mg75EQQ/s1600/7240703gg.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8mbqxnwTu_MhVlkbYrXpDEpK0vHbSMm7EG30b3pGT7PPfNUwHqwqAmZGdIhLlsY-Pf4nkQ851LisDafMAywwtFqZEwiWstnaXwo53OMBseu-koPMJFZg3Ykfk5wX8kLF9Lz7Mg75EQQ/s320/7240703gg.jpg" width="320" /></a></b><br />
As chances de encontrar história de matemática em quadrinhos são quase nulas, mas não são nulas! Só o fato de ser uma história em quadrinhos já é muito bacana, mas fora isso, a história em si é fantástica. É a história da uma das maiores crises que a matemática já passou, tendo Bertrand Russel como protagonista. Essa história tem muita ligação com o livro anterior, <i>A Prova de Gödel.</i> Então, se você se interessou pelo tema anterior mas não quer fazer aquele curso, talvez seja suficiente ler o Logicomix. Com essa história dá pra ter uma boa ideia de como foi essa crise, como tentaram resolvê-la, e de como Gödel acabou com todas as esperanças de resolvê-la da maneira que estavam tentando até aquele momento. Independente destes assuntos, se você gosta de matemática e quadrinhos, recomendo a leitura.<br />
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<b>16) Quadrivium</b><br />
<b>Autor: John Martineau</b><br />
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<b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqarvtSJo6VBhZowrD27R8ULRTH3yIkXo9ZGpf4jy6iqMyrpTbVy0tjvKfUj-o5u3mWcMXxRtMaQM3c_B5s6iunkJKzVHpBI8DWFRNeJu7v1AEBdGu47bWcHF5Tf5BDjVylFX5EVcgxQ/s1600/42269624.jpg" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqarvtSJo6VBhZowrD27R8ULRTH3yIkXo9ZGpf4jy6iqMyrpTbVy0tjvKfUj-o5u3mWcMXxRtMaQM3c_B5s6iunkJKzVHpBI8DWFRNeJu7v1AEBdGu47bWcHF5Tf5BDjVylFX5EVcgxQ/s320/42269624.jpg" width="229" /></a></b><br />
O livro é um grande arsenal de imagens (mais a devida explicação de cada uma) sobre números, geometria, música e cosmologia. Tem bastante simbolismo, números sagrados, figuras sagradas. O teor do livro é menos matemático e mais cultural. A arte do livro é muito bonita e só por isso já vale a pena. Fique certo de que a maioria das coisas neste livro você não vai encontrar por aí em livros acadêmicos.<br />
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Caso queira falar ou perguntar algo sobre algum destes livros, deixe um comentário. Até mais e boas leituras!Unknownnoreply@blogger.com89tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-38207744507929027092013-08-05T21:12:00.004-03:002014-03-12T11:39:18.870-03:00"Para quê serve a matemática?" - Tire sua dúvida sobre isso definitivamente!Eu, assim como muitos colegas matemáticos, sou apaixonado pelo que faço. É muito comum eu me empolgar quando o assunto é matemática, e quem mais sofre com isso são os leigos que, conversando comigo, sem querer mostram algum interesse no assunto mas não estão esperando uma conversa mais calorosa. Acontece que, de vez em quando, quem sofre sou eu, pois às vezes as pessoas são bastante pragmáticas e acabam me perguntando qual a utilidade daquilo que eu estou falando a respeito. Eu até sei a utilidade de um monte de coisa na matemática, mas com certeza não é isso que me motiva e nem é isso o que me importa. Em consequência disso, não é sempre que dou respostas satisfatórias sobre a utilidade da matemática.<br />
<br />
Como o título sugere, você vai tirar a sua dúvida sobre isso definitivamente. Não porque vou te dar a melhor resposta possível, mas sim porque este post é uma compilação com as melhores respostas que vi pela internet. Claro que você mesmo pode catar isso no google, mas pra quê ficar garimpando boas respostas se outra pessoa - que ainda por cima é matemático - já fez isso por você?<br />
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É certo que pelo menos uma destas respostas vai fazer todo o sentido pra você, e quem sabe uma delas não te dá uma nova visão da matemática, isso é o que eu espero.<br />
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PS: organizei as respostas de modo que as primeiras são as mais curtas e fáceis de entender, e as últimas são mais complicadas.<br />
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1) A utilidade da matemática não se limita a ser algum tipo de ferramenta ou linguagem. Ela possui utilidades que vão além disso e são muito bem resumidas neste pequeno texto, de leitura rápida e agradável.<br />
<a href="http://radamesm.wordpress.com/2011/06/15/para-que-serve-a-matematica/">http://radamesm.wordpress.com/2011/06/15/para-que-serve-a-matematica/</a><br />
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2) O autor fala um pouco sobre o assunto e mostra algumas aplicações interessantes da matemática no mundo real. A matemática usada não é pesada e o texto é claro, vale a pena dar uma olhada.<br />
<a href="http://www.prof-edigleyalexandre.com/2011/02/para-que-serve-matematica.html">http://www.prof-edigleyalexandre.com/2011/02/para-que-serve-matematica.html</a><br />
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3) Considero este texto altamente recomendado para professores. Se trata te uma reflexão séria sobre o assunto do ponto de vista educacional.<br />
<a href="http://w3.ufsm.br/filjem/menuesp1/c935f3d497d9e3ebc320160a0449bbbb.pdf">http://w3.ufsm.br/filjem/menuesp1/c935f3d497d9e3ebc320160a0449bbbb.pdf</a><br />
<br />
4) Este texto começa falando de professores e escolas, mas logo toma um caminho mais filosófico, falando sobre como os modelos matemáticos servem para descrever o mundo à nossa volta. Não acho que esta abordagem seja um bom caminho para se motivar as crianças de uma escola, posso estar errado, mas acho que este texto cai bem para alunos que estão terminando o ensino médio e já estão pensando em qual faculdade fazer. Também é um ótimo texto para quem já está na faculdade e ainda não sabe como aquele monte de disciplinas tem alguma serventia no mundo real.<br />
<a href="http://phylos.net/matematica/para-que-serve-matematica/">http://phylos.net/matematica/para-que-serve-matematica/</a><br />
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5) Aqui nós temos exemplos específicos de matemática pura ( a matemática pura não se preocupa em ser útil, nem se preocupa em ter alguma relação com o mundo real ) sendo usada para alguma aplicação.<br />
<a href="http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume3/para_que_serve_a_matematica.pdf">http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume3/para_que_serve_a_matematica.pdf</a><br />
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Os links a seguir são do mesmo assunto, mas são todos em inglês.<br />
<br />
1) Aqui temos uma lista de frases de diversas pessoas importantes, falando sobre a utilidade da matemática.<br />
<a href="http://www.cut-the-knot.org/manifesto/need_it.shtml">http://www.cut-the-knot.org/manifesto/need_it.shtml</a><br />
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2) Um tópico bem interessante sobre como deixar crianças empolgadas com matemática, ali tem diversas opiniões de diversas pessoas. Vale a pena conferir.<br />
<a href="http://math.stackexchange.com/questions/83/what-are-some-good-ways-to-get-children-excited-about-math/3081#3081">http://math.stackexchange.com/questions/83/what-are-some-good-ways-to-get-children-excited-about-math/3081#3081</a><br />
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<br />Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-66638077923198384912012-08-18T15:31:00.001-03:002012-08-18T15:40:34.119-03:00Como a matemática funciona - Parte 3Da última vez, nós vimos que se <i>a </i>é menor que <i>b </i>e <i>b </i>é menor que <i>c</i>, então <i>a </i>é menor que <i>c</i>, ou de modo mais matemático, se <i>a </i>< <i>b </i>e <i>b </i>< <i>c</i>, então <i>a </i>< <i>c</i>.<br />
Esta afirmação matemática, não apenas é intuitiva, mas também é fácil de se provar, e nós fizemos isso de duas maneiras diferentes. Existem outras afirmações matemáticas, que também são bastante intuitivas, todos nós usamos sem perceber durante toda a vida na escola, e até fora dela. Vou colocar algumas delas abaixo.<br />
<br />
Considere três números, <i>a, b, c.</i><br />
<i><br /></i>
ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO<br />
<i>a + ( b + c ) = ( a + b ) + c </i><i>a </i>• <i>( b</i> •<i> c ) = ( a</i> •<i> b ) </i>•<i> c</i><br />
<i>a + </i>0<i> = a </i><i>a </i>• 1<i> = a</i><br />
<i>a + (- a) = </i>0<i> </i><i>a </i>•<i> </i>1/<i>a = </i>1 ( <i>a </i>não pode ser zero neste caso)<br />
<i>a + b = b + a</i><i> </i><i>a </i>•<i> b = b</i> •<i> a</i><i> </i><br />
<br />
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO<br />
<i>a </i>•<i> ( b + c ) = a</i> •<i> b + </i><i>a </i>•<i> c </i><br />
<i><br /></i>
<i><br /></i>
Concordo que pra quem nunca viu isso antes, pode parecer uma tábua de mandamentos matemáticos. Mas aos céticos, recomendo que façam testes à vontade, procure por contradições, tentem ao máximo. Depois de muito testar, além de não encontrar nenhuma contradição, vocês vão perceber que estas afirmações são coisas óbvias que sempre foram tomadas como verdade enquanto vocês faziam contas na escola. Algumas delas, como <i>a + </i>0<i> = a</i>, são óbvias demais para merecerem ser testadas.<br />
<br />
A beleza matemática reside no fato de que praticamente tudo que nós vimos de matemática na escola, se baseia apenas nestes "mandamentos", você não precisa de mais nada, esta é a origem de tudo! Você pode literalmente esquecer tudo a respeito de PA, PG, log, exponenciação, raízes, frações, etc. Não importa, se você tiver em mente este pequeno pacote de mandamentos, é possível descobrir tudo sozinho, como se você estivesse criando a matemática novamente.<br />
<br />
Estes "mandamentos", são o que os matemáticos chamam de "axiomas". Os axiomas são as afirmações iniciais, são o ponto de partida para criar matemática. Qualquer teorema que existe tem os axiomas como ponto de partida. Uma coisa interessante dos axiomas é que apesar de serem naturais e intuitivos, eles não são provados, então neste sentido, você pode mesmo vê-los como mandamentos.<br />
<br />
Como exemplo, vou mostrar como descobrir um teorema a partir dos axiomas acima.<br />
Talvez alguém tenha notado que não coloquei uma afirmação extremamente óbvia como axioma, estou falando de <i>a</i> •<i> </i>0<i> = </i>0. Se eu não coloquei esta afirmação junto com os outros axiomas, então deve ser possível concluir ela a partir dos axiomas, vamos lá.<br />
<br />
Eu sei que "<i>a </i>•<i> ( b + c ) = a</i> •<i> b + </i><i>a </i>•<i> c</i>"<i> </i>é um axioma, não importa quais sejam os números, então eu posso fazer <i>b =</i> 0 e <i>c = </i>1, o que será que sai disso?<br />
<br />
<i> a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> = </i><i>a </i>•<i> ( </i>0<i> + </i>1<i> ) Axioma de Adição e Multiplicação </i><br />
<i> </i><i>a </i>•<i> ( </i>0<i> + </i>1<i> ) = </i><i> </i><i>a </i>•<i> ( </i>1<i> ) Resolvendo </i>0<i> + </i>1, que é igual à 1, pelo axioma<i> </i><i>a + </i>0<i> = a </i><br />
<i> a </i>•<i> ( </i>1<i> ) = </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> Retirando os parênteses</i><br />
<i> </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> = a Axioma de Multiplicação </i><i>a </i>• 1<i> = a</i><br />
<i><br /></i>
Eu comecei em <i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> </i>e cheguei até <i>a</i>, através de igualdades e usando os axiomas, então estas duas expressões são iguais.<br />
<br />
<i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> = a</i><br />
<i><br /></i>
Usando o axioma de multiplicação <i>a </i>•<i> </i>1<i> = a</i>, a equação fica assim:<br />
<br />
<i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i><i> = a</i>
<br />
<i><br /></i>
Eu posso adicionar <i>-a </i>nos dois lados da equação, e a coisa fica assim:<br />
<br />
<i>( a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a ) + (</i><i>-a) = a + (-a) </i><br />
<i> a</i> •<i> </i>0<i> + ( </i><i>a + (</i><i>-a) ) = a + (-a) Primeiro Axioma de Adição no lado esquerdo</i><br />
<i> a</i> •<i> </i>0<i> + </i>0<i> = </i>0<i> Axioma de Adição </i><i>a + (- a) = </i>0 <i>nos dois lados</i><br />
<i> a</i> •<i> </i>0<i> = </i>0<i> Axioma de Adição </i><i>a + </i>0<i> = a no lado esquerdo</i><br />
<i><br /></i>
Pronto! Provamos que <i>a</i> •<i> </i>0<i> = </i>0, usando os axiomas dados no início. <br />
<br />
E é assim que a matemática funciona. Cada pequeno passo é justificado, de modo que não há dúvidas de que ele seja válido. Por isso quando alguém afirma que <i>a</i> •<i> </i>0<i> = </i>0, é porque é isso mesmo, está provado, é irrefutável. E claro, a partir de agora podemos usar este fato como se fosse um axioma se quisermos provar outra coisa futuramente. Quanto mais fatos formos provando, mais vamos nos distanciando dos axiomas, até que chega a um ponto em que você nem mais usa os axiomas. A ideia é justamente essa, nós partimos de uma base segura, que são os axiomas, e dali vamos andando, cada vez para mais longe, cada vez mais alto, entrando em mundos fantásticos, onde ninguém poderia imaginar que seria possível chegar ao ver aqueles axiomas tão simplórios e inocentes.<br />
Espero ter dado uma ideia de como as coisas funcionam, e espero que tenha sido interessante ver as coisas neste nível.<br />
<br />
Note que ainda falta rigor na minha prova dada acima. Vou deixar algumas perguntas em aberto, propositalmente, para fazer você pensar, refletir, quem sabe filosofar um pouco, e espero que se empolgue para se aprofundar na matemática, assim como eu e tantos outros fazem por aí.<br />
<br />
1) Quando eu disse "Considere três números, <i>a, b, c</i>". O que eu quero dizer com "números" ?<br />
O que são números?<br />
<br />
2) Na primeira linha da prova de <i>a</i> •<i> </i>0 = 0, eu coloquei "<i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i>•<i> </i>1<i> = </i><i>a </i>•<i> ( </i>0<i> +</i>1<i> )</i>" e disse que usei o axioma de multiplicação e adição. Mas eu escrevi a igualdade ao contrário, você notou?<br />
O que eu deixei implícito é a seguinte afirmação "se A = B, então B = A", mas por que isso é válido? Caso queira pesquisar, comece vendo a lógica da Antiga Grécia.<br />
<br />
3) O início da prova foi feita através de uma sequência de igualdades, que posso resumir como "<i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a </i>•<i> </i>1 <i>= </i><i>a </i>•<i> ( </i>0<i> + </i>1<i> ) =</i><i> </i><i>a </i>•<i> ( </i>1<i> ) =</i><i> a</i>", daí eu concluí que <i>a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a</i> <i>= </i><i>a</i>. Mas por que em uma sequência de igualdades a primeira expressão pode ser igual à última? Esta questão também tem a ver com a lógica da Antiga Grécia.<br />
<br />
4) Eu usei parênteses do início ao fim, mas como funcionam os parênteses? Eu simplesmente deixei implícito que todos entendem como funciona, e tenho certeza de que quando escrevi<br />
"<i>( a</i> •<i> </i>0<i> + </i><i>a ) + (</i><i>-a) = a + (-a)</i>" algumas pessoas podem ter estranhado.<br />
<br />
5) Eu disse que "posso adicionar <i>-a </i>nos dois lados da equação", mas será que posso mesmo? Por que eu posso? Isso pode ser provado a partir dos axiomas, e eu não provei de propósito. Você notou esse buraco que eu deixei?<br />
<br />
Encerro por aqui a saga "Como a matemática funciona", deixando alguns deveres de casa.<br />
Boa diversão!Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-23787363855355300122012-07-18T16:18:00.000-03:002012-07-18T18:07:44.964-03:00Como a matemática funciona - Parte 2"Olá" para todos os leitores! Estamos de volta para continuar o assunto que começamos há alguns meses atrás.<br />
<br />
Eu queria provar que "se <span style="font-style: italic;">a</span> é menor que <span style="font-style: italic;">b</span> e <span style="font-style: italic;">b</span> é menor que <span style="font-style: italic;">c</span>, então <span style="font-style: italic;">a</span> é menor que <span style="font-style: italic;">c</span>", que é uma afirmação que fica mais clara se escrevermos "se <span style="font-style: italic;">a</span> < <span style="font-style: italic;">b</span> e <span style="font-style: italic;">b</span> < <span style="font-style: italic;">c</span>, então <span style="font-style: italic;">a</span> < <span style="font-style: italic;">c</span>". Vimos também o que significava um número ser menor que outro, em termos matemáticos, e como verificar isso matematicamente.<br />
<br />
Então vamos lá, dizer que o número <i>a</i> é menor que <i>b</i> significa que existe um número <i>p</i> de modo que <i>a </i>+ <i>p </i>= <i>b, </i>e <i>b</i> ser menor que <i>c</i>, significa que existe um outro número, que vou chamar de <i>q</i>, de modo que <i>b</i> + <i>q</i> = <i>c</i>. Lembre-se que tanto <i>p </i>quanto<i> q </i>devem ser positivos.<br />
<br />
Vou mostrar que a partir destas hipóteses é necessário acontecer <i>a <</i><i> </i><span style="font-style: italic;">c</span>,<span style="font-style: italic;"> </span>e vou fazer isso<span style="font-style: italic;"> </span>por dois caminhos diferentes:<br />
<br />
<u>1º caminho:</u> nossas duas hipóteses são as duas equações <i>a + p</i><i> =</i> <i>b </i>e <i>b + q = c.</i><i> </i>Pegue a primeira equação e some o número <i>q</i> nos dois lados, ficamos então com<br />
<i>a +</i> <i>p </i>+ <i>q </i>= <i>b + q</i>.<i> </i>Sabemos que <i>b + q</i> é igual à <i>c</i>, por causa da segunda hipótese, então podemos trocar <i>b + q</i> por <i>c</i>, e assim ficamos com <i>a </i>+ <i>p </i>+ <i>q </i>= <i>c</i>. Posso fazer <i>p </i>+ <i>q </i>= <i>r</i>,<i> </i>aí ficamos com <i>a + r = c</i>, como <i>r</i> é um número positivo ( pois é a soma de dois positivos ), podemos concluir que o número <i>a</i> é menor que o número <i>c</i>, ou seja, <i>a < c</i>, e isso era justamente o que esperávamos concluir.<br />
<br />
<u>2º caminho:</u> podemos isolar <i>b</i> na equação <i>b + q = c</i>, ficando com<i> b = c - q</i>, pegamos este resultado e substituímos na equação <i>a + p = b</i>, aí ficamos com <i>a + p = c - q</i>, jogando q para o outro lado temos que <i>a + p + q = c</i>. Fazemos a substituição <i>p + q = r</i>, aí ficamos com <i>a + r = c</i>. Como <i>r</i> é positivo, temos que <i>a</i> é menor que <i>c</i>, ou seja, <i>a < c</i>.<br />
<br />
Claro que estes não são os dois únicos modos de se provar esta afirmação, mas são dois modos simples, o que é o suficiente para nós neste momento. Espero tudo até agora esteja claro, caso contrário, escreva um comentário para que eu possa esclarecer melhor o que foi feito.<br />
<br />
Bom, este exemplo foi simples e intuitivo o suficiente para que qualquer um conseguisse prever a conclusão antes mesmo de eu prová-la ( mas ainda assim tivemos que usar diversas letras, o que pode ter sido um pouco trabalhoso para o leitor pouco acostumado à matemática neste nível de abstração ). Isso foi proposital, e eu fiz isso apenas como um passo inicial, para mostrar como estas noções simples podem ir longe com um pouco de esforço, paciência, engenhosidade e criatividade ( sim, existe criatividade na matemática, mais do que muita gente imagina ).<br />
Vou dar uma parada por aqui, na próxima vez iremos dar o próximo passo e ver o que mais podemos fazer a partir destas noções simples.<br />
<br />
Um Abraço!Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-33147349628296212872012-04-10T09:11:00.016-03:002015-06-17T00:40:58.163-03:00Como a matemática funciona - Parte 1Eu pretendo dar uma ideia aqui de como as coisas são feitas na matemática. Afinal, é comum ter gente achando a matemática exagerada e complicada demais. O interessante é que as ideias que deram base a diversos conceitos matemáticos são bastante simples, a complicação que existe é consequência natural destas ideias simples, as pessoas simplesmente foram descobrindo, ninguém complicou propositadamente ou quis inventar um conceito ultra-avançado e abstrato.<br />
<br />
Já que é pra falar de ideias simples, vou falar sobre um assunto simples, que são os números, e a partir disso vamos vendo como as coisas vão evoluindo.<br />
<br />
Para começar, vamos considerar três números que são arbitrários e desconhecidos, podemos chamá-los de <span style="font-style: italic;">a,b,c</span>. Eu estou partindo da hipótese de que quem está lendo isso já superou a fase de ter dificuldade com letras no lugar de números. Pois bem, temos estes três números, observe a seguinte afirmação: "se <span style="font-style: italic;">a</span> é menor que <span style="font-style: italic;">b</span> e <span style="font-style: italic;">b</span> é menor que <span style="font-style: italic;">c</span>, então <span style="font-style: italic;">a</span> é menor que <span style="font-style: italic;">c</span>."<br />
<br />
É tão óbvio que a afirmação é verdadeira que seria exagero dizer que é necessário provar que ela é verdadeira mesmo, mas esse é o ponto, é necessário provar. Na matemática, qualquer coisa que você afirma ser verdade tem que ser verdade mesmo, e o único modo de garantir isso é provando que é verdade. Então vamos lá!<br />
<br />
"Bom...ahhnnn....po...é obvio, não precisa!"<br />
Este é o tipo de coisa que muita gente poderia dizer, outro tipo de "argumento" que muitos poderiam dizer é o seguinte:<br />
"Tenta achar três números que não estão de acordo! Não achou né, então é verdade mesmo."<br />
Este último argumento, muito cuidado com ele, não prova nada pois existem infinitos números pra conferir e pode acontecer de que apenas números enormes não estejam de acordo, ou que existam alguns números bem específicos que não estejam de acordo. Enfim, este argumento pede que a pessoa faça a verificação e tente achar algum caso que não esteja de acordo com a afirmação dada, mas a verificação deve ser completa, pois a afirmação fala de TODOS os números.<br />
<br />
PS: Este argumento é usado em outras situações também, geralmente como artifício pra ganhar alguma discussão. É importante deixar claro que o argumento só é válido quando é possível verificar todos os casos.<br />
<br />
Mas voltando à matemática, conseguiu pensar em algo?<br />
Antes de tentar provar qualquer coisa, é necessário saber do que estamos falando.<br />
Aqui vem uma coisa interessante, o que quer dizer um número ser menor que outro? Eu sei que todos tem essa noção, mas como colocamos esta noção em forma de matemática?<br />
O que muitos devem ter pensado: "dizer que <span style="font-style: italic;">a</span> é menor que <span style="font-style: italic;">b</span> é o mesmo que <span style="font-style: italic;"></span>a < <span style="font-style: italic;">b</span>". De fato, é assim que se simboliza matematicamente. Podemos então reformular a afirmação:<br />
"se <span style="font-style: italic;">a</span> < <span style="font-style: italic;">b</span> e <span style="font-style: italic;">b</span> < <span style="font-style: italic;">c</span>, então <span style="font-style: italic;">a</span> < <span style="font-style: italic;">c</span>". Pra quem está acostumado com esta notação, fica até mais fácil ler assim do que ler por extenso como foi colocado no início, mas quando dizem que um número é menor que outro, você não pensa apenas nestes símbolos, você realmente possui uma intuição sobre o assunto, talvez você até consiga visualizar o que é um número ser menor que outro. Pode ser que explicar precisamente não seja fácil, mas você sabe o que quer dizer um número ser menor que outro.<br />
<br />
Um modo comum e altamente intuitivo de visualizar os números é imaginá-los sobre uma reta, como uma régua.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5Qui7MRgJ6y9wyolJ_k3x-Dp2E1UpAVF2oFjTVdI2hnj4f7yJ3VCeBMSdadADRPKW4ITuTnzo0rzPkd-n3uXC2ZJ01Xm4PO50PmqFajFAI3Yie0urb6kMhX9qhJGEOWFVhAqiYiO6xg/s1600/reta.png"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5729755855260328962" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5Qui7MRgJ6y9wyolJ_k3x-Dp2E1UpAVF2oFjTVdI2hnj4f7yJ3VCeBMSdadADRPKW4ITuTnzo0rzPkd-n3uXC2ZJ01Xm4PO50PmqFajFAI3Yie0urb6kMhX9qhJGEOWFVhAqiYiO6xg/s400/reta.png" style="cursor: hand; cursor: pointer; display: block; height: 102px; margin: 0px auto 10px; text-align: center; width: 400px;" /></a><br />
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O número 1, por exemplo, é menor que o número 4, vendo pelo desenho, isso quer dizer que se estamos no 1 e queremos chegar ao 4, precisamos "andar" para a direita do 1, até chegar ao 4.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCDo3GP-eIcj0knveR1JKer2vTJYgP4vhXpYbJ8TgkFy_SqBNw9uJtxJUuy_6_HY6Rh34GFhSouWtmW-1MuXr9-VInlPmEJ_TvfyHEQEHWcNabG2M70zbHvxrYLcJw2061p8PbYwO0fA/s1600/reta-andar.png"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5729758620058157378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCDo3GP-eIcj0knveR1JKer2vTJYgP4vhXpYbJ8TgkFy_SqBNw9uJtxJUuy_6_HY6Rh34GFhSouWtmW-1MuXr9-VInlPmEJ_TvfyHEQEHWcNabG2M70zbHvxrYLcJw2061p8PbYwO0fA/s400/reta-andar.png" style="cursor: hand; cursor: pointer; display: block; height: 102px; margin: 0px auto 10px; text-align: center; width: 400px;" /></a><br />
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O que significa "andar para a direita" neste contexto? Se eu ando para a direita, os números aumentam, se eu ando para a esquerda, eles diminuem. Matematicamente, o que estou fazendo com os números?<br />
Pra quem disse ou pensou em soma e subtração, meus parabéns, estou te devendo uma bala! Pois é exatamente isso o que acontece, se eu estou no número 1 e andei para a direita, é o mesmo que dizer que eu somei algum número ao 1, e se fui para a esquerda, quer dizer que subtraí algum número do 1. Resumindo a história:<br />
Andar pra direita do 1: 1 + algum número.<br />
Andar pra esquerda do 1: 1 - algum número.<br />
<br />
Concluindo, se o número 1 é menor que o número 4 é porque eu preciso somar algum número ao número 1 pra chegar a 4, ou seja, 1 < 4 pois 1 + algum número = 4. Não pretendo ficar escrevendo "algum número" toda hora, então sempre que eu for me referir a este número, vou escrevê-lo como <span style="font-style: italic;">p</span>. Posso então reformular o que disse acima de um modo mais simples: dizer que 1 < 4 é o mesmo que dizer que 1 + p = 4.<br />
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PS: está implícito que <span style="font-style: italic;">p</span> é positivo, pois a quantidade de "passos" que damos a partir do 1 é positiva.<br />
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Então eu passei de "1 é menor que 4", que é a linguagem humana, para " 1 < 4", que é a linguagem matemática mas não resolve nada ( é apenas uma tradução ), e finalmente para</div>
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"1 + <span style="font-style: italic;">p</span> = 4", que é ainda na linguagem matemática, mas é mais que uma tradução pois envolve uma equação que pode ser resolvida e interpretada como verdadeira ou falsa, nos dando um parecer sobre a afirmação.<br />
Por exemplo, se eu disser que 4 < 1, é o mesmo que dizer que 4 + p = 1, com <span style="font-style: italic;">p</span> positivo, então resolvemos a equação.<br />
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4 + p = 1<br />
p = 1 - 4<br />
p = -3<br />
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Opa! Deu algum erro aí, porque <span style="font-style: italic;">p</span> deveria ser positivo, mas as contas estão certas, então o erro só pode ter sido lá no início, quando eu afirmei que 4 < 1.<br />
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Então este modo de caracterizar números maiores e menores permite sempre uma verificação precisa, fora isso, observe que eu trouxe o conceito de maiores e menores para a resolução de problemas que envolvem apenas contas de somas e subtrações, então essa caracterização além de verificável é a mais simples possível ( quer algo mais simples que somar e subtrair? ). Ainda mais, essa caracterização veio de observações totalmente intuitivas a respeito dos números, então ela é uma tradução direta de como nós mesmos observamos os números e suas relações de tamanho, talvez ela seja o modo mais simples e compreensível para nós, seres humanos.<br />
<br />
Quem leu até aqui, com paciência e refletindo sobre o que foi dito, deve ter notado a simplicidade que foi buscada para definir a noção de números menores, evitando redundâncias, ambiguidades ou complicações. É assim que a matemática opera, ela busca a essência das estruturas abstratas que operam nas nossas mentes e as traz à tona, de um modo completamente preciso e manipulável ( dentro da matemática ). Todas as complicações, acredite se quiser, vem naturalmente como consequências lógicas dessas coisas simples e inocentes.</div>
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O leitor atento deve ter notado que eu não provei ainda a afirmação que dei no início. Como eu disse, primeiro é necessário saber do que estamos falando. Agora nós estamos sabendo, mas a continuação ficará para a próxima vez! </div>
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Um abraço!</div>
Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-9221652103305954312011-04-15T11:42:00.010-03:002012-08-17T13:32:59.445-03:00UBM - União dos Blogs de Matemática<a href="http://ubmatematica.blogspot.com/" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirPbpWmjDmb4d9GHOVGwP98PGIjBvaGimDFDDCgwJfoMl0KW5bjo5AP-G4SQvqhNomN5LQwsEcgAh6bF9NXcNWfvmRN_JeN01rRGC8QNMcbB9zMbvhDJBxmAM2kgMEZnA9jIT_2Tw-lUE/s200/Banner_UBM_M4_200.jpg" /></a><br />
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Temos um novo blog de matemática na área, chamado União do Blogs de Matemática, este blog nada mais é do que o conjunto dos blogs de matemática, mas sendo ele um blog de matemática, ele deveria conter a si mesmo? Ops!!! </div>
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"União" é uma das palavras que sempre me fizeram sentir o mundo como um lugar melhor. Acredito que a união entre as pessoas é uma das chaves para melhorar o mundo, melhorar a rotina, melhorar as relações entre as pessoas, enfim, melhorar tudo. Para mim foi uma surpresa a criação deste blog que unia os blogs matemáticos, este foi um ato que simplesmente mudou minha vida para uma vida melhor, não porque vai ajudar meu blog, ou vai me facilitar a achar conteúdos matemáticos de outros blogs, mas porque me mostrou que os matemáticos estão realmente de mãos dadas por uma causa maior, que é a própria matemática! </div>
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A criação deste blog foi uma idéia muito feliz, e eu espero que ela seja o início de uma boa fase para os blogueiros e para todos aqueles que se interessam por matemática. Considero um grande problema o fato de a matemática ser tão odiada por tantos estudantes, e acho que isso se deve muito ao modo como ela é ensinada nas escolas. Com os blogs temos uma maneira diferente de mostrar como a matemática pode ser interessante e até divertida, neste sentido, esta união dos blogs pode vir a ser algo de enorme valor futuramente. </div>
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Estou muito agradecido por estar aqui presenciando este momento e por estar me filiando a este blog também. Vida longa à UBM e a todos os blogs matemáticos!</div>
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Unknownnoreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-64507734096588385812010-12-17T15:37:00.030-02:002011-04-15T12:16:36.092-03:00O Pensamento Matemático - Parte 4Acabou que falei sobre um monte de coisa no último post, mas não resolvi nada. Espero que quem tenha me acompanhado durante essa pequena jornada tenha percebido que fazer as coisas de modo inteligente vale a pena. E é com essa nova percepção que vamos continuar caminhando até o fim. Vamos acabar com esse problema! Somos seres inteligentes, nada pode nos dar medo, nenhum desafio é muito para nós, não existe nenhuma pedra, nenhuma montanha que seja uma barreira intransponível para nós! Nada pode nos deter!!!<br /><br />No último post eu disse que se um lado da balança tem mais pérolas então ele vai ser mais pesado, não importa que arrumação de pedras eu faça, sempre vai ser assim. Essa descoberta é ótima, mas e pra que isso nos serve? Acompanha o raciocínio: se tivermos uma situação onde um lado tem mais pérolas que outro, então a pérola mais leve pode estar em qualquer lado que não faz diferença, o lado com mais pérolas vai descer mais. Isso quer dizer que nesse tipo de situação não conseguimos descobrir nada sobre onde está a pérola mais leve. <br /><br />Maravilha! Eureca! Genial!!!<br /><br />Se esse tipo de situação não nos ajuda em nada, o que nos sobra? Exato! O que nos sobra é analisar as situações quando os dois lados tem o mesmo número de pérolas. Quem chegou até aqui meus parabéns! Você passou por diversos vales sombrios, vilas amaldiçoadas e bestas infernais, mas você superou todos esses obstáculos e chegou até o reino da luz, onde a Verdade lhe foi dita, e onde você pôde beber do cálice da sabedoria. <br />Mas isso quer dizer que a jornada acabou? Claro que não! Essa foi apenas a primeira fase, foi a fase mais difícil, mas ainda tem mais...<br /><br />Se o que temos que fazer é comparar quantidades iguais de pérolas, então é isso que faremos. Nossas opções são: uma pedra de cada lado, duas pedras de cada lado e três pedras de cada lado. ( quem foi que disse quatro de cada lado?! )<br /><br /><u>PS:</u> quando eu falar de restante das pérolas, estou falando das pérolas que estão de fora, as que não estão na pesagem.<br /><br />1) Uma pérola em cada lado:<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG-9UHvsP5LHwFsQTGQxAUtiykSsIA_gcdKMeKffziFx-GzT8DgrOSEm_mNc1ax9lljLWIA9Tc89jAZgySO4dX3v8fskG5UwBnumHTldVj0lZum3QqwdUqlYIS4n7FvDqUwpZoIYIg2A/s1600/F1a.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiG-9UHvsP5LHwFsQTGQxAUtiykSsIA_gcdKMeKffziFx-GzT8DgrOSEm_mNc1ax9lljLWIA9Tc89jAZgySO4dX3v8fskG5UwBnumHTldVj0lZum3QqwdUqlYIS4n7FvDqUwpZoIYIg2A/s400/F1a.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551717753804796786" /></a><br />Se tivermos uma pérola de mesmo peso em cada lado, a mais está leve entre as cinco restantes.<br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi34cFEkMr4t49EqrZXN5_gVSkx0Y1VIC0z6wshfnKTrMr4cckQ6BN0JkzmpoExl5d237BmQA2OwL-1tCSIgVmTs9WVzCx4rM-eEm07F-pmonWViHdEKLsQXnSa38lc8zV_KInPLAlbog/s1600/F1b.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi34cFEkMr4t49EqrZXN5_gVSkx0Y1VIC0z6wshfnKTrMr4cckQ6BN0JkzmpoExl5d237BmQA2OwL-1tCSIgVmTs9WVzCx4rM-eEm07F-pmonWViHdEKLsQXnSa38lc8zV_KInPLAlbog/s400/F1b.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551718177485787586" /></a><br />Se a pérola mais leve estiver em um dos lados, então ela está no lado mais alto, aqui o problema foi resolvido, a pérola mais leve foi achada em apenas uma pesagem.<br /><br />2) Duas pérolas em cada lado:<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbDyLmo49SuEdijqYHxU8uo4VLXVCewXz5UALgS55rMSPD974AVQTjUW5y209WjqcNWkcLvXXsnx9M7LuF8WLeVODNZGc5hG0eSU3ZqW5YMEHNOe-Gfg0k6RJizh7YSrzMwyb89vUmTA/s1600/F2a.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbDyLmo49SuEdijqYHxU8uo4VLXVCewXz5UALgS55rMSPD974AVQTjUW5y209WjqcNWkcLvXXsnx9M7LuF8WLeVODNZGc5hG0eSU3ZqW5YMEHNOe-Gfg0k6RJizh7YSrzMwyb89vUmTA/s400/F2a.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551719233148948594" /></a><br />Se tivermos duas pérolas de mesmo peso em cada lado, então a pérola mais leve está entre as três restantes.<br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjPZEmBQZYlwXi41KczT0ucNF0iaRZ3GDLAjTUyJ72zox2uXUT_SzloYj2VTr0xSFcw0qabCrtkGkKx8JcVOuskkev4G3kuyrhd93FR2-pS2SJKCnY9BSwcLhlPkZ-5hvlh3NNVifpxA/s1600/F2b.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjPZEmBQZYlwXi41KczT0ucNF0iaRZ3GDLAjTUyJ72zox2uXUT_SzloYj2VTr0xSFcw0qabCrtkGkKx8JcVOuskkev4G3kuyrhd93FR2-pS2SJKCnY9BSwcLhlPkZ-5hvlh3NNVifpxA/s400/F2b.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551719699716696146" /></a><br />Se a pérola mais leve está em um dos lados, então ela está no lado mais alto e é uma das duas que está nesse lado.<br /><br /><br />3) Três pérolas em cada lado:<br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoRNp64fk0dWQnUmZjXYS6lEk08Vp7Tz_XssQykEuvK7qRHuJsi1DIeUIQH3M9NlFjVjVFDJrXPvgsttWuY1lKFZFA1Hdc1zbByqwaHc0tCcP2GZBylB51N6Su5KIutxGUA-IOxh1pyA/s1600/F3a.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoRNp64fk0dWQnUmZjXYS6lEk08Vp7Tz_XssQykEuvK7qRHuJsi1DIeUIQH3M9NlFjVjVFDJrXPvgsttWuY1lKFZFA1Hdc1zbByqwaHc0tCcP2GZBylB51N6Su5KIutxGUA-IOxh1pyA/s400/F3a.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551720561576435650" /></a><br />Se tivermos três pérolas de mesmo peso em cada lado, então a pérola mais leve é a única restante, e assim o problema está resolvido com apenas uma pesagem.<br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3DJ5_gANTo8qZmYkNN_7J09Gg4rkeuTIZiOL9v4TcJkghcdk_dJYLhtxERPVXXX0L60siT0i-jZKnTWzfKR1lakzACZmjXlnp6EB-_rgykNvTzjuWgQeB3zEBbsSObLWqRiATV9-Yng/s1600/F3b.bmp"><img style="cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 235px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3DJ5_gANTo8qZmYkNN_7J09Gg4rkeuTIZiOL9v4TcJkghcdk_dJYLhtxERPVXXX0L60siT0i-jZKnTWzfKR1lakzACZmjXlnp6EB-_rgykNvTzjuWgQeB3zEBbsSObLWqRiATV9-Yng/s400/F3b.bmp" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551721088721749650" /></a><br />Se a pérola mais leve está em um dos lados, então ela está no lado mais alto e é uma das três que está nesse lado.<br /><br /><br />Estamos quase lá, o que precisamos fazer agora é descobrir qual dessas escolhas vai nos levar ao sucesso. Vamos analisar uma por uma, de uma vez por todas. Nas análises abaixo, aconselho que enquanto você for ir lendo, volte aos desenhos acima para ter uma boa idéia do que está acontecendo.<br /><br />1) Uma pérola em cada lado:<br /><br />-> Se os lados não equilibrarem, já sabemos que a mais leve está no lado mais alto. <br />Mas e se equilibrarem? Então teremos apenas uma pesagem para cinco pérolas, e como já sabemos, temos que colocar uma quantidade igual de pérolas em cada lado. Se colocarmos uma em cada lado e equilibrarem, quer dizer que mais leve está entre as três restantes, e não temos como saber qual é. Isso quer dizer que precisamos colocar duas em cada lado, mas se não equilibrarem, quer dizer que a pérola mais leve está no lado mais alto, onde tem duas pérolas, e nesse caso não sabemos qual das duas é a mais leve. Chegamos perto, mas não foi agora. <br />O que eu acabei de mostrar, é que existe um modo de se chegar à um caminho incerto quando se começa colocando uma pedra de cada lado, e como procuramos uma certeza, não podemos ir por esse caminho. Conclusão: colocar uma pedra de cada lado na primeira pesagem pode não dar certo, então não vamos fazer isso.<br /><br />2) Duas pérolas em cada lado:<br /><br />-> Se os lados não equilibrarem, sabemos que a pérola mais leve está no lado mais alto, onde tem duas pérolas. Então na próxima pesagem colocamos essas duas, uma em cada lado, e o lado mais alto é onde está a pérola mais leve, e assim o problema foi resolvido.<br />Mas e se equilibrarem? Então sabemos que a pérola mais leve está entre as três restantes, e temos que descobrir qual é ela, com apenas uma pesagem. Para fazer isso escolhemos duas para pesar, colocamos uma em cada lado, se equilibrar, então a restante é a mais leve, se não equilibrar, então a pérola mais leve está no lado mais alto, de qualquer maneira conseguimos encontrar a pérola mais leve. Conclusão: colocando duas pedras em cada lado no início nos leva a descobrir com total certeza qual é a pérola mais leve.<br /><br />Então o problema está resolvido, duas pedras de cada lado é o que precisamos fazer. Agora já podemos dormir em paz. ^^<br /><br />.........<br /><br />Hmmm? Alguém disse algo? Se você sente que tem algo faltando, então pode ser que você tenha o espírito matemático dentro de você. Muitos se satisfazem só com a solução, mas o espírito matemático não quer só a solução, ele quer examinar o problema por completo. Não vamos parar por aqui, afinal, e se colocarmos três pedras de cada lado, o que acontece? <br /><br /><u>EXTRA:</u><br /><br />3) Três pérolas em cada lado:<br /><br />-> Se os lados equilibrarem é fácil, a pérola mais leve é a restante.<br />Mas e se não equilibrarem? Então sabemos que a pérola mais leve está entre as três no lado mais alto. Na próxima pesagem temos exatamente o mesmo caso para duas pérolas de cada lado, a segunda pesagem, quando a primeira pesagem ficou equilibrada. Conclusão: com três pérolas de cada lado também conseguimos com total certeza resolver o problema!<br /><br /><br /><br />Foi uma longa jornada, desde a explicação do problema, do modo como funciona o pensamento matemático, passando por uma análise minuciosa das possibilidades, das filtragens, até chegar em um ponto onde teríamos que analisar apenas três casos com um número igual de pérolas em cada lado. Mas se você me acompanhou com calma, refletindo, se esforçando, sei que você conseguiu ir até o fim da jornada, e no fim desta jornada, aprendemos um pouco sobre como nossas mentes fazem coisas incríveis, e como nós mesmos conseguimos fazer coisas incríveis quando estamos dispostos. <br /><br />Esse problema que passei aqui pode ser resolvido por muitas pessoas em alguns segundos, e muitas pessoas que o resolvem nesse tempo não fazem nem idéia de quanta coisa sua mente faz no processo de resolvê-lo, mas agora nós sabemos.<br />Acredito que sabendo um pouco sobre cada obstáculo que estamos superando, valorizamos o ato de pensar, o ato de raciocinar. Valorizamos um dos maiores dons que Deus nos deu: a inteligência.Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-23772847326163579742010-12-17T14:12:00.024-02:002015-06-17T00:27:39.591-03:00O Pensamento Matemático - Parte 3Agora temos apenas 33 casos para analisar na primeira pesagem, e isso pode ser feito "na força bruta", quero dizer, a pessoa pode fazer um caso de cada vez e ir vendo quais deles são bons e quais não são. A força bruta de fato é usada muitas vezes para resolver diversos problemas na matemática, e não apenas na matemática, mas em diversas áreas. Mas a força bruta está longe de ser um modo inteligente de resolver as coisas, isso porque ela resolve as coisas do modo mais lento possível e porque não se exige muito raciocínio elaborado para usá-la. Quando nós usamos a inteligência, nós somos capazes de entender e descobrir atalhos para a solução de algum problema, foi usando a inteligência que chegamos a 33 casos para analisar quando originalmente se tem 5040 casos, imagine fazer os 5040 casos um por um, isso seria usar a força bruta, pouca inteligência e muito esforço.<br />
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Então a partir de agora vamos fazer um pacto, vamos sempre procurar resolver as coisas do modo mais inteligente que pudermos, se você fizer isso, já está dando um passo importante na sua vida, seja como matemático ou não. </div>
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De qualquer maneira, como vamos resolver esse problema com a inteligência? O que podemos fazer agora? Aquelas filtragens que eu disse antes eram bem legais, mas elas não filtraram tudo, e agora parece que está bem difícil ver algo para ser filtrado, mas de fato ainda existe mais uma coisa. Essa última filtragem que é a filtragem mágica, ela é que traz à tona o que é um pensamento inteligente, um pensamento elegante. Acredite, existe beleza nos pensamentos, não é só em música, pintura, etc. Na verdade, pois mais que seja difícil de acreditar, existe criatividade em matemática, e ela de fato pode ser vista como um tipo de arte. </div>
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Para começar, dê uma olhada no desenho abaixo:</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLbijTv85ET25UAxda7nZADohTSOG9jzastv6y1YiNCEERPW1mGb3FrT6LzYEaHjjkbd1591craZ5FaB0vIKeSjpDgiXvtKKRHNDllaJ6sVfLHR6Pb11GgQ1osi2bv1mC1VD1Ca8di2w/s1600/comparation.bmp" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551692041334314946" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLbijTv85ET25UAxda7nZADohTSOG9jzastv6y1YiNCEERPW1mGb3FrT6LzYEaHjjkbd1591craZ5FaB0vIKeSjpDgiXvtKKRHNDllaJ6sVfLHR6Pb11GgQ1osi2bv1mC1VD1Ca8di2w/s400/comparation.bmp" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 213px; width: 400px;" /></a><br />
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Nesse desenho eu comparei a pesagem de 4 pérolas com todas as que estão abaixo de 4. E aqui deu pra constatar que o lado onde tem 4 pérolas sempre é mais pesado. Se eu tivesse comparado um lado com 3 pérolas e o outro com menos de 3, também ia dar que o lado de 3 sempre estaria mais pesado. Já deu pra ver aonde quero chegar?<br />
Eu não vou fazer todos os casos, mas o que quero mostrar é que se você colocar mais pedras de um lado, esse lado vai ser mais pesado, não importa se a pedra mais leve está ali ou não. Parece óbvio demais? Pode ser que sim, agora que foi dito. Mas antes de ser dito, não era óbvio, e a questão toda é essa: conseguir enxergar esse tipo de coisa óbvia. Se pra alguém ainda não está claro, vou explicar o porquê.<br />
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Se no lado direito temos <i>n</i>+1 pérolas, no lado esquerdo temos no máximo <i>n</i> pérolas ( tem que ser assim porque o lado direito tem que ter mais pérolas que o esquerdo ). Eu disse antes que o lado que tem mais pérolas sempre é mais pesado que o outro lado, então vou forçar um pouco a barra e colocar a pérola mais leve do lado direito pra ver se consigo fazer o esquerdo passar. Um desenho disso seria algo assim:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxh0-RnoIe5O67bie26siycOsK37CDMPVnANa1f4MKOZATv86HyhEQM-NlNWhSwoldZI7hyP7hVaCyB_Fwr_EGQwBztIo7D4aevVUHITiNOH5tvPKJ_WGPFSiUvsZMoScc4VjLHTcZJw/s1600/finalfilter.bmp" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551705156269861570" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxh0-RnoIe5O67bie26siycOsK37CDMPVnANa1f4MKOZATv86HyhEQM-NlNWhSwoldZI7hyP7hVaCyB_Fwr_EGQwBztIo7D4aevVUHITiNOH5tvPKJ_WGPFSiUvsZMoScc4VjLHTcZJw/s400/finalfilter.bmp" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 138px; width: 400px;" /></a><br />
<br />
Acontece que as <i>n</i> pérolas de cada lado se igualam, e no lado direito entra a mais leve, e acaba que ele fica um pouco mais pesado. Como eu fiz o máximo possível pro esquerdo passar o direito e não consegui, é porque não tem como mesmo, sempre que um lado tiver mais pedras ele vai ficar mais pesado que o outro.<br />
<br />
Às vezes muitas coisas óbvias passam sem ninguém percebê-las, até matemáticos podem deixar coisas simples passar sem percebê-las. O segredo para você conseguir perceber melhor essas coisas é simples: prática, prática e prática. Coloque a cabeça pra funcionar, procure resolver qualquer problema da sua vida de modo inteligente, procure resolver enigmas, sudoku, palavras cruzadas, enfim, pratique atividades mentais diversas. E se você quer ficar bom em alguma área em particular, pratique bastante coisas ligadas à essa área. Não existem barreiras intransponíveis, não existe inferioridade mental, nem ninguém está destinado a ser burro. Quem quer ficar bom em alguma coisa, tem que acreditar que pode, e correr atrás.<br />
<br />
Nossa! Mas isso não é uma coisa tão óbvia? Acho que não estou falando nenhum segredo aqui, todo mundo sabe que quem quer algo tem que acreditar e correr atrás. Então, se alguém acha que é incapaz, pode ir parando por aí, porque não é. Afinal, se você fosse incapaz, teu cérebro não ia reduzir 5040 possibilidades pra 33. A verdade é que todos nós temos um instinto matemático, nós nascemos com isso, e quem quiser pode desenvolver, em outras palavras, não é questão de poder ou não, é questão de querer ou não.Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-6405693830571712512010-02-05T14:33:00.016-02:002010-12-17T13:40:21.106-02:00O Pensamento Matemático - Parte 2Eu poderia mostrar a solução do problema das 7 pérolas dita no tópico anterior e isso bastaria para muita gente. Mas qual o sentido em saber a solução e não aprender mais nada com isso? É muito importante a gente aprender algo com qualquer problema que apareça na nossa vida, seja ele algo real ou não.<br />Bom, quando eu te pergunto sobre descobrir a pérola mais leve dentre as 7, o que você pensa?<br />Já vi algumas pessoas que de início falam que não dá, aí eu pergunto o porquê, e quando elas tentam me explicar elas começam a enxergar a solução, ou pelo menos o caminho para ela. Isso acontece porque elas se travaram apenas em algumas aparências básicas, ainda não se aprofundaram de verdade no problema, mas quando requisitadas a verbalizar sobre o que pensaram, elas precisam formular algo, e esse processo de formular exige que se entenda mais o problema, afim de falar algo que faça sentido. E é nessa procura de algo que faça sentido que nós nos aprofundamos de verdade no problema. Essa barreira é algo puramente psicológico, não se trata de lerdeza de raciocínio, falta de percepção, falta de estudo, etc. Por isso aqui vai um conselho, não se prenda às aparências iniciais de um problema, porque a aparência não reflete a verdade dele. Depois de passar por essa barreira psicológica, se concentre para entrar no problema e permaneça focado nele, se aprofundando cada vez mais. Não se imponha limites, use toda a sua capacidade mental.<br />Agora vem a parte principal, que é o problema em si.<br /><br />O que normalmente se faz é pensar é na balança com algumas pérolas de um lado e outras do outro lado, e aí vemos o que acontece. Para cada resultado falho nós tiramos alguma conclusão, e se o resultado for um sucesso nós resolvemos o problema. O mais interessante aqui para uma análise do problema são os resultados falhos, pois cada um traz uma conclusão, e é através das conclusões que nós compreendemos o problema e conseguimos entender a solução. A solução não será apenas obra do acaso, e sim uma conquista do intelecto humano, pois foi através de nossas mentes que pudemos observar os fracassos e traçar o caminho para o sucesso.<br /><br />Vou fazer um método para analisar esse problema, vou analisar as situações quando temos 2 pérolas, depois quando temos 3 pérolas, e vou aumentando de um em um até chegar a 7 pérolas. Também vou mostrar desenhos onde as pérolas brancas representam as 6 de mesmo peso, e a preta é a mais leve. Em todos os casos começarei pela situação onde não há a pérola mais leve, e depois ela irá aparecendo da direita para a esquerda. Desse modo todas as possibilidades serão analisadas. <p></p> <p class="MsoNormal"><br /><u>PS¹</u>: é óbvio que apenas 1 pérola não serve para análise porque eu preciso de pelo menos 2 para existir alguma comparação.<br /><u>PS²</u>: essas minhas análises serão em relação à primeira pesagem. A segunda vem mais tarde.<br /><span style=""> </span><br /><br /><u>2 pérolas</u>:</p> <p class="MsoNormal"><!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--><o:p></o:p></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" spt="75" preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"> <v:f eqn="sum @0 1 0"> <v:f eqn="sum 0 0 @1"> <v:f eqn="prod @2 1 2"> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"> <v:f eqn="sum @0 0 1"> <v:f eqn="prod @6 1 2"> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"> <v:f eqn="sum @8 21600 0"> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"> <v:f eqn="sum @10 21600 0"> </v:formulas> <v:path extrusionok="f" gradientshapeok="t" connecttype="rect"> <o:lock ext="edit" aspectratio="t"> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.png" title="2"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSPjOyC8HlCHgNQkOzm4Csf_VPPOJMcqTrPf4yYlMqpiWOox9sR4AdnySwVd7zv4qdoJXAp9ffHKSUl7e-4PWiqAS20o6t3a3liPVMCRD2Y8BEf-U1y0RNa-FsKA32xkRy094_VaRSnQ/s1600-h/2.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 60px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSPjOyC8HlCHgNQkOzm4Csf_VPPOJMcqTrPf4yYlMqpiWOox9sR4AdnySwVd7zv4qdoJXAp9ffHKSUl7e-4PWiqAS20o6t3a3liPVMCRD2Y8BEf-U1y0RNa-FsKA32xkRy094_VaRSnQ/s400/2.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434799561562539570" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal">a) qualquer uma das outras 5 pode ser a mais leve.<br />b) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />c) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br /><br /><u>3 pérolas</u>:</p> <p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi66dLf5oadL4YOuRM5AegyS6nwj3D7Xb1FwQLcglAMcNwO-BM8dFLu2ABnfd8TlFHrpLQZ7cqxBf82u2pf4w_fC_WRcSDxx3L05Ml2MhmvdK4jvoADL6OkVQtvnKCUT7gns7BQmCoj2g/s1600-h/3.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 146px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi66dLf5oadL4YOuRM5AegyS6nwj3D7Xb1FwQLcglAMcNwO-BM8dFLu2ABnfd8TlFHrpLQZ7cqxBf82u2pf4w_fC_WRcSDxx3L05Ml2MhmvdK4jvoADL6OkVQtvnKCUT7gns7BQmCoj2g/s400/3.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434799849962908626" border="0" /></a><br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image003.png" title="3"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br />Em todas as situações o lado que tem 2 pérolas é mais pesado lado que o que tem 1 pérola.<br /><br /><u>4 pérolas</u>:</p> <p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLcCX49BSnMTeoWLhKYFVMG3xButvCJ-_0gPLStI2qNT4XZsSl4aGzcnOTCsqd7OPDsbwoAUa8pGJr12pZkh0s7_WbnZdUhiN3QC3He0WndAT6vHO5K4wlTS6RR1X4waVdh5IhqGlRkw/s1600-h/4.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 315px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLcCX49BSnMTeoWLhKYFVMG3xButvCJ-_0gPLStI2qNT4XZsSl4aGzcnOTCsqd7OPDsbwoAUa8pGJr12pZkh0s7_WbnZdUhiN3QC3He0WndAT6vHO5K4wlTS6RR1X4waVdh5IhqGlRkw/s400/4.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434808366351876626" border="0" /></a><br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image005.png" title="4"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br />a) qualquer umas das outras 3 pode ser a mais leve.<br />b) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />c) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />d) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />e) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />No restante o lado que tem 3 pérolas é sempre mais pesado que o que tem 1 pérola.<br /><br /><u>5 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_THAPGml0D59QTiM-mnOrbUkzKr5fL_B3cmwsTUU7neZEOI-Xa8YQwtIsksnEKd4jjobZ17lmedgVaRNsJN5bV8Kr82BVbBYIvsCpFMKohaqa1hd5LMH8H4MRkZUdl_oyCUm2jUXiwQ/s1600-h/5.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 339px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_THAPGml0D59QTiM-mnOrbUkzKr5fL_B3cmwsTUU7neZEOI-Xa8YQwtIsksnEKd4jjobZ17lmedgVaRNsJN5bV8Kr82BVbBYIvsCpFMKohaqa1hd5LMH8H4MRkZUdl_oyCUm2jUXiwQ/s400/5.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434826928958513154" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;height:5in'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image007.png" title="5"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br />Nas comparações onde há 2 pérolas de um lado e 3 do outro resulta que o lado com 3 pérolas sempre é mais pesado.<br />Nas comparações onde há 1 pérola de um lado e 4 do outro resulta que o lado com 4 pérolas sempre é mais pesado.<br /><br /><u>6 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbup2TftC5WbBPewUsvux9EAMTi538AF6dOThZm_bJTrZAEZFmBNVkaHrUEbCMmFsFkLLKCC0iqhYJur4bOtS8GXV1phaMuJ6e0QAbVffpgKdlawy7aZI0vYaIyyqYsmhkM3jlcvq22w/s1600-h/6.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 307px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbup2TftC5WbBPewUsvux9EAMTi538AF6dOThZm_bJTrZAEZFmBNVkaHrUEbCMmFsFkLLKCC0iqhYJur4bOtS8GXV1phaMuJ6e0QAbVffpgKdlawy7aZI0vYaIyyqYsmhkM3jlcvq22w/s400/6.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434837300613809250" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;height:553.5pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image009.png" title="6"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br />a) o pérola mais leve é a que não está na balança.<br />Nas comparações com 3 pérolas de cada lado, o lado mais alto é onde está a pérola mais leve.<br />Nas comparações com 2 pérolas de um lado e 4 pérolas do outro lado resulta que o lado com 4 pérolas é sempre mais pesado.<br />Nas comparações com 1 pérola de um lado e 5 pérolas do outro lado resulta que o lado com 5 pérolas é sempre o mais pesado.<br /><br /><u>7 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxVueyLXUsK09XBT3NXIbvun4ibVKqA1o1LyO5P28h3MvPdRfBv59KqKoaxJjCzzd5-rRYjM5L0yuLVe8_dTXIhKjVGJKk1lfRtCsSlWYl3ry39Upx1Nzx-K-WMTGfhOZhTa7iNrM3vg/s1600-h/7.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 307px; height: 400px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxVueyLXUsK09XBT3NXIbvun4ibVKqA1o1LyO5P28h3MvPdRfBv59KqKoaxJjCzzd5-rRYjM5L0yuLVe8_dTXIhKjVGJKk1lfRtCsSlWYl3ry39Upx1Nzx-K-WMTGfhOZhTa7iNrM3vg/s400/7.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434837294846258178" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;height:553.5pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image011.png" title="7"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br />Nas comparações com 3 pérola de um lado e 4 pérolas do outro lado resulta que o lado com 4 pérolas é sempre o mais pesado.<br />Nas comparações com 2 pérola de um lado e 5 pérolas do outro lado resulta que o lado com 5 pérolas é sempre o mais pesado.<br />Nas comparações com 1 pérola de um lado e 6 pérolas do outro lado resulta que o lado com 6 pérolas é sempre o mais pesado.<br /><br /><u>Análise</u>:<br /><br />Podemos elaborar uma tabela para ver o total de possibilidades ( que chamarei de <i>T ) </i>para cada quantidade ( que chamarei de <i>n )</i> de pérolas:<br /><br />n = 2 ; T = 3<br />n= 3 ; T = 4<br />n = 4; T = 10<br />n = 5; T = 12<br />n = 6; T = 21<br />n = 7; T = 24<br /><br />Sendo assim, o total de possibilidades são 74. Existem modos de reduzir drasticamente o número de possibilidades, estou falando de filtragens mentais, que é uma coisa que todo mundo faz sem perceber em muitas situações. Vou falar um pouco de duas que já foram feitas:<br /><br />1ª filtragem: Não há diferença entre pérolas quando se trata das 6 que tem mesmo peso, isto é, eu posso ter o seguinte:<br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image013.png" title="fl"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlv8chQa10JlIntn_43foDdG6KKt0p85kB30VjMM380qBjwsNmhxaAlmbSNC0Hr9YwPt0sQ2-yBoFHhPrPdcyLLUWbVl3xiGBtmPmtI09x_5OJHqknIjhllXgP0NBMpFxe4LJDKebaw/s1600-h/fl1.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 95px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlv8chQa10JlIntn_43foDdG6KKt0p85kB30VjMM380qBjwsNmhxaAlmbSNC0Hr9YwPt0sQ2-yBoFHhPrPdcyLLUWbVl3xiGBtmPmtI09x_5OJHqknIjhllXgP0NBMpFxe4LJDKebaw/s400/fl1.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434812319817081906" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal">e...</p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;height:100.5pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image013.png" title="fl"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlv8chQa10JlIntn_43foDdG6KKt0p85kB30VjMM380qBjwsNmhxaAlmbSNC0Hr9YwPt0sQ2-yBoFHhPrPdcyLLUWbVl3xiGBtmPmtI09x_5OJHqknIjhllXgP0NBMpFxe4LJDKebaw/s1600-h/fl1.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 95px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlv8chQa10JlIntn_43foDdG6KKt0p85kB30VjMM380qBjwsNmhxaAlmbSNC0Hr9YwPt0sQ2-yBoFHhPrPdcyLLUWbVl3xiGBtmPmtI09x_5OJHqknIjhllXgP0NBMpFxe4LJDKebaw/s400/fl1.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434812319817081906" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><br />São duas pesagens diferentes, onde primeiro eu usei 3 de mesmo peso com a mais leve e logo depois eu peguei as outras 3 de mesmo peso e troquei de lugar com as 3 anteriores. As pedras brancas não são as mesmas mas a situação é igual, então é lógico que o resultado será igual, esse é um tipo de pesagem que é redundante. Eu poderia fazer várias combinações com o mesmo resultado das duas combinações acima, mas como eu sei que elas são iguais de peso, posso considerar apenas um caso para representar a si mesmo e a todos os outros semelhantes, e assim é feita uma filtragem lógica de muitas possibilidades redundantes.<br /><br />2ª filtragem: Em algum caso qualquer com <i>n</i> pérolas, não precisa haver repetição de combinação quanto aos lados, isto é, eu posso ter o seguinte:<br /><br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image016.png" title="fl2"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0RVZqXPC7S1II37wqw5kZdpA1hzl_SPC3QUNkGJS9thC8WJ4FlSCrVDliz51bzP2AVn8fb3tzwYpOqVgFlLDJp2pKypjUcEBcTLqYg8iawr6cOWvPAcSowLFdlmScK6q1WxBag0fDqA/s1600-h/fl2.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 77px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0RVZqXPC7S1II37wqw5kZdpA1hzl_SPC3QUNkGJS9thC8WJ4FlSCrVDliz51bzP2AVn8fb3tzwYpOqVgFlLDJp2pKypjUcEBcTLqYg8iawr6cOWvPAcSowLFdlmScK6q1WxBag0fDqA/s400/fl2.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434812323148865570" border="0" /></a></p><p class="MsoNormal"><br />A mais leve na direita e 2 outras na esquerda ou a mais leve na esquerda e as 2 outras na direita.<br /><br />Sem levar em consideração a troca de lados, estamos analisando a mesma situação, e a consequência é sempre a mesma independente de trocar o lado ou não, assim é feita então mais uma filtragem lógica de muitas combinações redundantes.<br /><br />Pode se dizer que quando nós nos confrontamos com esse problema, estamos tentando escolher o caminho do sucesso entre tantas possibilidades de escolhas, e nesse processo o cérebro humano faz milagres que nem percebemos.</p> <p class="MsoNormal">No nosso caso das pérolas eu fiz algumas filtragens óbvias que reduziram a quantidade de possibilidades de 5040 para 74 apenas!<br />Ainda faltou mostrar uma grande filtragem que também é uma das óbvias, mas não tanto quanto as duas anteriores, essa terceira filtragem eu não fiz ainda. </p> <p class="MsoNormal">Olhe para as três situações abaixo que foram consideradas:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br /><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;height:49.5pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image018.png" title="fl3"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtwOqMdMymrppy0hvEtlaaMAFdwFoV1nsC_5sSRTBsAwVOcAaFgz7cOMUqlCnKdfV7KrXM0UNoaBMsb9512ob3vSOs5ncPqfgBhcu_dsuX8GTPwKachq-AO4c6rznlEGlRFEJls9ZmQg/s1600-h/fl3.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 47px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtwOqMdMymrppy0hvEtlaaMAFdwFoV1nsC_5sSRTBsAwVOcAaFgz7cOMUqlCnKdfV7KrXM0UNoaBMsb9512ob3vSOs5ncPqfgBhcu_dsuX8GTPwKachq-AO4c6rznlEGlRFEJls9ZmQg/s400/fl3.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434812328150419490" border="0" /></a><br /><br />Pode se ver claramente que o peso no lado direito vai ser o mesmo independente da ordem em que as pérolas estão colocadas.<span style=""> </span><br /><br />Dito isso, podemos elaborar um novo esquema onde todas nossas três filtragens são feitas:<br /><br /><u>2 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br /><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;height:99pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image020.png" title="2n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia-_t1IOp11nWw8AKJaQkLm7VSrWBcvpYywILThzLTRlKIZ56ZRp_ou4pjxMif2WVvg8OBBPZdcuU2BReBDaqKyX42u1MpxKpWJl2RsXE0e6gwGK0T4dUV6AA4SwfL7vMMdzqGm0iRZw/s1600-h/2n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 93px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia-_t1IOp11nWw8AKJaQkLm7VSrWBcvpYywILThzLTRlKIZ56ZRp_ou4pjxMif2WVvg8OBBPZdcuU2BReBDaqKyX42u1MpxKpWJl2RsXE0e6gwGK0T4dUV6AA4SwfL7vMMdzqGm0iRZw/s400/2n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434813185672165602" border="0" /></a><br /><br /><u>3 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br /><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;height:155.25pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image022.png" title="3n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic_UFgj4D_zbt9b-_SGH116B8XnDFv6dayakMmZXycp2wYL9omZhyphenhyphenkZoCmZExLmQ2fIxuSRzUpGCjvMSUqSa84axefYtmjO-bYmq6lrPM8xOyubKP1HesDgrORUS4jjfBMej0gkkI9Rg/s1600-h/3n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 146px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic_UFgj4D_zbt9b-_SGH116B8XnDFv6dayakMmZXycp2wYL9omZhyphenhyphenkZoCmZExLmQ2fIxuSRzUpGCjvMSUqSa84axefYtmjO-bYmq6lrPM8xOyubKP1HesDgrORUS4jjfBMej0gkkI9Rg/s400/3n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434813189736096354" border="0" /></a><br /><br /><u>4 pérolas</u>:<br /><!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br /><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;height:206.25pt'"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image024.png" title="4n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtvXZstGT022mLIDa27VxbozgGYm0K0BwnYePU4Oxsgv4TIRbJ4Fijokw39k18C7rRbQNA_6msCUywcoRVAfEy7THhlxfLUMVspY0lNgUrcDNuTfH63eBXEl3PwfTk_7LpyWbgs6KDrg/s1600-h/4n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 194px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtvXZstGT022mLIDa27VxbozgGYm0K0BwnYePU4Oxsgv4TIRbJ4Fijokw39k18C7rRbQNA_6msCUywcoRVAfEy7THhlxfLUMVspY0lNgUrcDNuTfH63eBXEl3PwfTk_7LpyWbgs6KDrg/s400/4n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434814288354619410" border="0" /></a><!--[endif]--></p> <p class="MsoNormal"><!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--><o:p></o:p></p> <p class="MsoNormal"><u>5 pérolas</u>:<br /><br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image026.png" title="5n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC-PcmOBxE4kVkLlx0_12Y7oBBHOPyI2RsYtjlfcDpFmM7uXf9VvGTWZfq_uVPihgPk9FS7MOiqrOKinxwLuJUql0RUDc3Sbjov3e9tSWdp1ugVJ_aVEmYb9HqL9flaS3mbTpeLxkSNQ/s1600-h/5n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 174px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC-PcmOBxE4kVkLlx0_12Y7oBBHOPyI2RsYtjlfcDpFmM7uXf9VvGTWZfq_uVPihgPk9FS7MOiqrOKinxwLuJUql0RUDc3Sbjov3e9tSWdp1ugVJ_aVEmYb9HqL9flaS3mbTpeLxkSNQ/s400/5n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434814290471635346" border="0" /></a><br /><br /><u>6 pérolas</u>:<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefYgkkM3ezP17m3aKU8NFYLGVc21o_lee0cOYJe2fVJ47_dkGSMsfU5amR_wgwfvxRG2Vf1NpXiUEi5fHuDIEgahuyqrpKo6_bQcFrcJ6EZsLiAYDETqZvG1oEQ56GRR5HjubykyJ9g/s1600-h/6n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 199px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefYgkkM3ezP17m3aKU8NFYLGVc21o_lee0cOYJe2fVJ47_dkGSMsfU5amR_wgwfvxRG2Vf1NpXiUEi5fHuDIEgahuyqrpKo6_bQcFrcJ6EZsLiAYDETqZvG1oEQ56GRR5HjubykyJ9g/s400/6n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434815392741626594" border="0" /></a><br /><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" style="'width:424.5pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image028.png" title="6n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br /><u>7 pérolas</u>:<!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" style="'width:425.25pt;"> <v:imagedata src="file:///E:/DOCUME~1/ROCKLE~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image030.png" title="7n"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><br /></p><p class="MsoNormal"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiif5T3Tst6fa72PuKw-sQEsHMkcr6xGq-QLlTsTEGWmh8dz6FwkeEEjUTr4hx3zrPMYkycH391P6Y96mmvaI3FgLmfr-Tzg30g-dqyxL7xG3dT-LPZ5QyH2WG3xD2HSVl3mQlGCC4N7w/s1600-h/7n.bmp"><img style="cursor: pointer; width: 400px; height: 210px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiif5T3Tst6fa72PuKw-sQEsHMkcr6xGq-QLlTsTEGWmh8dz6FwkeEEjUTr4hx3zrPMYkycH391P6Y96mmvaI3FgLmfr-Tzg30g-dqyxL7xG3dT-LPZ5QyH2WG3xD2HSVl3mQlGCC4N7w/s400/7n.bmp" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5434815398565905186" border="0" /></a></p><p class="MsoNormal"><br />E agora o total de possibilidades é 33. Ótima redução! E o mais legal é que todas essas reduções são feitas em segundos nas nossas mentes, e às vezes sem a gente perceber, de tão natural que é!<br />É depois de algumas filtragens na mente que algumas pessoas fazem palpites para tirar conclusões e com isso trilhar o seu caminho. É um modo muito válido, mas eu me pergunto, é necessário mesmo dar palpites? Não existe um modo que nos leve direto para o caminho do sucesso sem ter que trilhar por caminhos falhos antes? Dependendo do problema, pode existir ou não. O melhor a se fazer é deixar a possibilidade de trilhar caminhos duvidosos para o final, primeiro reflita bastante sobre o problema, tente conhecê-lo, compreender todos os seus detalhes, penetrar no fundo da sua alma. Te garanto que este caminho é muito mais gratificante e que te levará a lugares da sua mente que você nem conhecia.</p>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-25466472658409438962009-08-31T18:13:00.032-03:002015-06-17T00:14:14.185-03:00O Pensamento Matemático - Parte 1Hoje vou falar um pouco sobre o pensamento matemático em si. Como funciona o pensamento de um matemático? Quais são as diferenças entre o pensamento de um matemático e o de uma pessoa comum?<br />
Para responder essas perguntas vou abordar um problema de raciocínio que pode ser entendido por qualquer um, e com isso vamos ver como cada um pensa.<br />
O problema é o seguinte: eu te mostro 7 pérolas, sendo que elas aparentemente são iguais. Então eu te digo que entre as 7 pérolas, 6 tem o mesmo peso, e uma é mais leve que todas as outras. Até aí tudo bem, né? O desafio é achar qual é a pérola mais leve, mas isso é fácil, é só colocar na balança. Pois bem, o desafio de fato vem agora, nesse problema a única balança que você tem é aquela balança de dois pratos, e você só pode fazer duas pesagens com a balança. Então, como que você consegue descobrir qual a pérola mais leve com estas condições?<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdNX4UENJpuqvI9Db0SGhvHOEDJ6JhliK9xLnzlJ74CAa0G3hLz_pvSqrgHJ6t0KqohMjY-Cc7g66O4hEK-Yk7UEwEf1cQO9XbrYoMKAppEdGv895FbGIHtfeXoWsmeWPLMbqGiFg9RA/s1600-h/simbol.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5376239375386258098" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdNX4UENJpuqvI9Db0SGhvHOEDJ6JhliK9xLnzlJ74CAa0G3hLz_pvSqrgHJ6t0KqohMjY-Cc7g66O4hEK-Yk7UEwEf1cQO9XbrYoMKAppEdGv895FbGIHtfeXoWsmeWPLMbqGiFg9RA/s400/simbol.gif" style="cursor: pointer; height: 192px; width: 400px;" /></a><br />
<br />
Eu já passei este problema para muitas pessoas e já vi muitas reações. É possível agrupar as pessoas de acordo com alguns simples critérios:<br />
<u>1° tipo de pessoa</u>: Aquela que tenta resolver o problema.<br />
<u>2° tipo de pessoa</u>: Aquela que não tenta resolver o problema.<br />
Acredito que ninguém vai discordar desse meu modo de classificar as pessoas. Para evitar muitas variantes, vamos supor que as pessoas não estão com outros compromissos, ou com pressa, ou qualquer coisa semelhante, assim as pessoas do 2° tipo são aquelas que não tentam pela própria vontade, isto é, elas não querem mesmo!<br />
<br />
Esses dois tipos de pessoas possuem subdivisões:<br />
<u>1° tipo de pessoa</u>: a) Aquela que tenta e resolve.<br />
b) Aquela que tenta e não resolve.<br />
<u>2° tipo de pessoa</u>: a) Aquela que não quer tentar resolver o problema porque acha que não consegue.<br />
b) Aquela que não quer tentar por qualquer outro motivo.<br />
<br />
Ainda acredito que este tipo de classificação não gera nenhuma discordância e que cobre todas as possibilidades. Agora vou fazer uma nova classificação e vou juntar essa com a anterior:<br />
<u>1° tipo de pessoa</u>: Aquela que tem capacidade para resolver o problema.<br />
<u>2° tipo de pessoa</u>: Aquela que não tem capacidade para resolver o problema.<br />
<br />
Quando digo que a pessoa não tem capacidade de resolver o problema, quero dizer o tipo de pessoa que realmente nunca vai entender como resolver por causa de incapacidade cerebral mesmo. Tem o tipo de pessoa que não resolveu mas entende a solução depois de explicada, esta pessoa é do 1° tipo, ela tem capacidade de aprender este problema e resolvê-lo depois. Gostaria também de ressaltar que a grande maioria das pessoas é do 1° tipo, ou seja, a maioria é capaz de entender a solução e resolver o problema depois se quiser, mas um grande problema está no fato de uma grande maioria se encaixar também no 2° tipo de pessoa da classificação anterior, ou seja, a maioria apesar de ser capaz não quer tentar resolver o problema. Muitos por se acharem incapazes, outros por acharem que não tem como, ou não gostarem, ou por ter preguiça, ou qualquer outro motivo pessoal. Bom aqui vem a primeira diferença entre um pensamento matemático e um pensamento comum, a questão não é que o matemático seja mais inteligente, ele simplesmente não é travado por “achismos” ou por gostos pessoais ou preguiça ou qualquer motivo pessoal, ele simplesmente vê um problema e tenta de verdade achar uma solução do melhor modo que puder.<br />
Essas são as principais diferenças das pessoas do 2° tipo da primeira e da segunda classificação em relação a um matemático, agora vamos falar sobre as diferenças das pessoas do 1° tipo da primeira classificação, ou seja, aquelas que tentam resolver o problema. Bom, supondo que essa pessoa tenha capacidade cerebral para resolver o problema, ela pode ainda assim resolvê-lo ou não, mas independente disso, se alguém lhe explicar ela entenderá e poderá resolver sozinha depois o problema. Eu não posso afirmar isso com 100% de garantia, mas para mim todos os matemáticos podem resolver esse problema se assim quiserem, porque mesmo que um matemático tivesse dificuldades em resolver ele tentaria até a exaustão, e essa é outra característica de um matemático, a persistência. Mesmo um problema parecendo impossível, o matemático só ficaria tranquilo depois que provasse que ele é impossível, se esse fosse o caso. Um problema que você não sabe resolver e não sabe se pode ser resolvido ou não é uma questão em aberto, e toda questão em aberto será atacada pelos matemáticos até que ela seja resolvida de vez, isso é a mais pura verdade, tanto que existiram e existem problemas matemáticos que tem centenas de anos de vida. A persistência em resolver os problemas vai além de uma única vida, e aqueles que não resolveram durante sua vida um problema, atacaram-o do melhor modo que puderam, e todas suas conclusões foram passadas para a geração seguinte, como uma corrida de revezamento, só que o fim dessa corrida ninguém sabe onde é, mas continuamos correndo, e assim continuaremos até o fim dos tempos.<br />
Em geral os matemáticos estão entre as pessoas do 1° tipo da primeira e da segunda classificação, mas existem pessoas que estão nesse mesmo grupo de pessoas e não são matemáticos, inclusive muitas podem resolver o problema tranquilamente e não serem matemáticos. Quem são essas pessoas? Pode-se pode se dizer que essas pessoas são como matemáticos, mas normalmente elas concentram suas capacidades em outros assuntos, e provavelmente são tão esforçadas quanto um matemático, não existe nem mais nem menos inteligente.<br />
Bom, mas o que diferencia o pensamento do matemático dessas pessoas? Existe diferença mesmo? Se elas tem a mesma capacidade porque não pensam igual?<br />
Aqui nós começamos a explorar coisas que vão muito além das classificações iniciais, vamos nos aprofundar um pouco mais. Uma coisa que diferencia um matemático de outras pessoas inteligentes é a questão de solucionar um problema. Normalmente pessoas inteligentes se satisfazem resolvendo um problema, já o matemático não se satisfaz apenas com isso, na verdade, ele pode considerar a solução como algo de menor importância, o que importa para o matemático é compreender a alma das coisas, entender ao máximo tudo sobre aquele problema, desde coisas mínimas até as mais gerais. Depois de tudo compreendido a solução vem como uma curiosidade a mais, apenas mais um fato entre tantos. Pode-se dizer que o matemático é um explorador, ele explora estruturas, relações, causas e consequências, etc. Mas isso faz do matemático mais inteligente que os outros? Certamente que não, a ferramenta máxima do matemático é sua mente, por isso ele é associado à inteligência, mas nada impede que um profissional de qualquer outra área tenha o mesmo interesse em se aprofundar nos problemas de sua área assim como o matemático faz. Entretanto, convém ressaltar aqui um fato, máximo rigor e máximo aprofundamento mental são regras na matemática, algo que não acontece em qualquer área, dependendo mais da pessoa que de sua área de trabalho.<br />
Para quem não sabe, vou dizer o que significa esse rigor e aprofundamento na matemática:<br />
<u>Rigor</u>: Todos os seus pensamentos (sem nenhuma exceção) a respeito de alguma coisa tem que ser explicitados, e todos eles devem estar absolutamente corretos. Ou seja, toda ação que você toma tem que ser mostrada e você tem que provar que ela está certa. Desde as coisas mínimas até coisas mais complicadas, nesse sentido, nada passa em branco na matemática, nada mesmo!<br />
<u>Aprofundamento</u>: Todos os assuntos abordados são explorados, revirados e dissecados ao máximo possível. E mesmo tendo se esforçado ao máximo para se aprofundar, sempre há chance de algo ter passado despercebido.<br />
Por causa do rigor, o matemático só vai anunciar como sendo verdadeiro o que está de fato provado ser verdadeiro, e por causa do aprofundamento, o matemático sempre vai voltar à coisas já provadas tentando achar alguma coisa nova. Não existe bom-senso, estimativas, estatísticas ou qualquer outro tipo de coisa duvidosa em matemática, se algo de natureza duvidosa aparece, esse fato é explicitado para não gerar confusão.<br />
Para aqueles que ainda tem dúvida sobre essas diferenças, no próximo post vou esclarecer tudo com um grande exemplo!Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-51578463812787883.post-50678439626621829592009-07-17T18:45:00.012-03:002010-12-17T14:11:32.847-02:00Big Bang Matemático<span style=";font-family:trebuchet ms;font-size:100%;"></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:85%;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:georgia;">Olá à todos que passarem por aqui. Vocês estão agora no território onde os pensamentos matemáticos vivem. O principal assunto abordado será a matemática, mas a matemática de fato tem suas origens filosóficas e físicas, então não falarei apenas de matemática como algo isolado, e para quem espera apenas ver observações técnicas, este blog não será tão útil, pois minha intenção aqui não é simplesmente mostrar a matemática, e sim questioná-la, dissecá-la, e refletir sobre tudo o que puder estar relacionado.<br />Neste blog as idéias fluirão livremente, e o objetivo, é captar a verdade, se é que ela existe, e se é que ela é palpável à nós.<br /><br />Antes de começar a falar sobre assuntos, queria saber uma coisa: o que é um matemático na sua opinião?<br /><br />...pausa para refletir...<br /><br /><br />Bom, uma vez um matemático chamado <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_erdos">Paul Erdõs</a> disse : "<span style="font-style: italic;">Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas".</span><br />Junto desta frase vale a pena comentar que no início do século XX um problema que estava sendo abordado era a questão da consistência da matemática. Quando digo consistente, quero dizer que não é possível gerar teoremas contraditórios a partir de conceitos verdadeiros, esses conceitos verdadeiros são chamados de axiomas na matemática, eles são verdades aceitas sem demonstração. O problema de provar a consistência da matemática foi aumentando com o passar do tempo, porque ninguém conseguia provar que a matemática era consistente! Neste contexto, o matemático pode ser visto como alguém que tira conclusões lógicas a partir de um conjunto de axiomas, e ainda mais, como os próprios axiomas são aceitos como verdades sem serem de fato demonstrados, temos que o matemático é quem tira conclusões lógicas a partir de um conjunto de afirmações que podem ser verdadeiros ou não. A preocupação do matemático não é saber se o conjunto inicial de afirmações ( axiomas ) é verdadeiro ou não, sua preocupação é saber se suas conclusões são consequências logicamente necessárias dessas afirmações iniciais.<br />Pode se ver que a visão de um matemático não é a mesma para todos, aliás, quando te perguntei o que era um matemático você pensou em alguma dessas coisas que acabei de falar? Note que a palavra "número" nem aparece na minha definição de matemático. Apesar dos números fazerem parte da matemática, eles não são o enfoque do matemático.<br /><br />E hoje em dia, qual é o papel do matemático? Ainda existem institutos de pesquisa, existem ainda professores de matemática, laboratórios onde a matemática é necessária, e existem ramos novos que se apóiam na matemática para poder andar, um bom exemplo é a computação. De certo modo o matemática está atuando em diversas áreas e cada uma dá uma significação diferente ao matemático. Nós podemos pegar todas essas áreas e tentar definir como uma coisa só, mas o que seria essa coisa? Será que não existem definições contraditórias em algumas áreas de atuação? Como definir a matemática de um modo que seja universalmente aceita? Será que é possível fazer isso?<br />Eu não vou responder essas perguntas, se quiser reflita sobre elas e venha conversar comigo depois. Só o que eu vou dizer é que considero a matemática como algo maravilhoso, transcendente e sem limites.<br /><br />Estou encerrando aqui minha primeira aparição num blog.<br />Em breve voltarei, abraços à todos.<br /></span></span></span>Unknownnoreply@blogger.com1