quarta-feira, 18 de julho de 2012

Como a matemática funciona - Parte 2

"Olá" para todos os leitores! Estamos de volta para continuar o assunto que começamos há alguns meses atrás.

Eu queria provar que "se a é menor que b e b é menor que c, então a é menor que c", que é uma afirmação que fica mais clara se escrevermos "se a < b e b < c, então a < c". Vimos também o que significava um número ser menor que outro, em termos matemáticos, e como verificar isso matematicamente.

Então vamos lá, dizer que o número a é menor que b significa que existe um número p de modo que a + p = b, e b ser menor que c, significa que existe um outro número, que vou chamar de q, de modo que b + q = c. Lembre-se que tanto p quanto q devem ser positivos.

Vou mostrar que a partir destas hipóteses é necessário acontecer a < c, e vou fazer isso por dois caminhos diferentes:

1º caminho: nossas duas hipóteses são as duas equações a + p = b  e  b + q = c. Pegue a primeira equação e some o número q nos dois lados, ficamos então com
a + b + q. Sabemos que b + q é igual à c, por causa da segunda hipótese, então podemos trocar b + q por  c, e assim ficamos com c. Posso fazer = r, aí ficamos com a + r = c, como r é um número positivo ( pois é a soma de dois positivos ), podemos concluir que o número a é menor que o número c, ou seja, a < c, e isso era justamente o que esperávamos concluir.

2º caminho: podemos isolar b na equação b + q = c, ficando com b = c - q, pegamos este resultado e substituímos na equação a + p = b, aí ficamos com a + p = c - q, jogando q para o outro lado temos que a + p + q = c. Fazemos a substituição p + q = r, aí ficamos com a + r = c. Como r é positivo, temos que a é menor que c, ou seja, a < c.

Claro que estes não são os dois únicos modos de se provar esta afirmação, mas são dois modos simples, o que é o suficiente para nós neste momento. Espero tudo até agora esteja claro, caso contrário, escreva um comentário para que eu possa esclarecer melhor o que foi feito.

Bom, este exemplo foi simples e intuitivo o suficiente para que qualquer um conseguisse prever a conclusão antes mesmo de eu prová-la ( mas ainda assim tivemos que usar diversas letras, o que pode ter sido um pouco trabalhoso para o leitor pouco acostumado à matemática neste nível de abstração ). Isso foi proposital, e eu fiz isso apenas como um passo inicial, para mostrar como estas noções simples podem ir longe com um pouco de esforço, paciência, engenhosidade e criatividade ( sim, existe criatividade na matemática, mais do que muita gente imagina ).
Vou dar uma parada por aqui, na próxima vez iremos dar o próximo passo e ver o que mais podemos fazer a partir destas noções simples.

Um Abraço!